المراجعة النهائية

المراجعة النهائية

( س , ص ) يسمى زوج مرتب و تسمى س بالمسقط الأول ، تسمى ص بالمسقط الثاني .
ملا حظات هامه جدا
إذا كان (ا، ب) = (س ، ص) فإن ا = س ، ب = ص
الزوج المرتب (ا، ب) ≠ (ب ، ا)
1) سس × ف = ف لأن ف مجموعة خالية لا تحتوي على أي عناصر
2) إذا كان ( 3 ، 5 ) ي ( سس × صص } فإن 3 ي سس ، 5 ي ص
3) سس × صص لآ صص × سس بينما ن { سس × صص } = ن { صص × سس }
4) ة 2’ × ة 2’ = ة{ 2، 2}’ و ليس ة 4 ’
5) ن { سس × صص } = ن {سس } × ن { صص } حيث ن هي عدد العناصر

الحاصل الديكارتي : ح × ح = ح2
تكون الشبكة المقابلة الحاصل الديكارتي ح2
ويتكون من أربعة أرباع
وكما نعرف أن المحور(الأفقي) هو السيني
والمحور الصادي هو الرأسي
لاحظ أن النقط التي تقع علي المحورين
لا تنتمي لأي من الأرباع الأربعة

ملاحظة هامة
النقط التى تنتمى لمحور السينات أحداثياتها = ( س ، 0 )
النقطة التى تنتمى لمحور الصادات أحداثياتها = ( 0 ، ص )
الدالة
الدالة :- هى علاقة من س إلى ص بشرط أن كل عنصر من عناصر س يظهر كمسقط أول مرة واحدة وواحدة فقط ( كل عنصر من س يخرج منه سهم واحد فقط )

المجال : مجموعة عناصر س {العناصر التي تخرج منها الأسهم }
المجال المقابل: مجموعة عناصر ص
المدى : المجموعة التي تستقبل الأسهم وقد يكون المدى هو المجال المقابل أو
مجموعة جزئيه منه

الدوال كثيرات الحدود
الداله الثابته
الصورة العامة : د(س) = ا ، ا عدد حقيقي
التمثيل البياني للدالة الثابتةدائما تمثل الدالة الثابتة بخط مستقيم يوازي محور السينات و يقطع محور الصادات عند النقطة ( 0 ، ا )
الدالة الخطية
الصورة العامة للدالة الخطية (دالة الدرجة الاولى )
د(س) = أ س + ب مجالها = ح مداها = ح وتمثل بيانيا بخط مستقيم يقطع محور الصادات فى النقطه ( 0 , ب )
ومحور السينات فى النقطه ( 0 , )
الداله التربيعيه
الصورة العامة د(س) = ا 111س2 + ب س + ج بشرط ا لآ صفر هي داله من الدرجة الثانية
احداثى نقطة رأس منحني الدالة: تحدد العدد الأول هو معادله محور التماثل والعدد الثاني القيمة العظمى أو الصغرى
إحداثي رأس المنحني = (- معامل س2 × معامل س2 ، د( - معامل س2 × معامل س2 ) )

مجموعه الحل هى نقط التقاء المنحى مع محور السينات


إذا كان ا (معامل س2 ) > 0 إذا كان ا (معامل س2 )< 0
شكل المنحني لأعلي U شكل المنحني لأعلي بلا
رأس المنحني ( قيمة صغري ) رأس المنحني ( قيمة عظمي )
معادلة محور التماثل س = - معامل س2 × معامل س2 معادلة محور التماثل =- معامل س2 × معامل س2
حل معادلتين من الدرجه الاولى في متغيرين جبريا
يوجد طريقتان الحذف والتعويض
حل معادلتين من الدرجه الاولى في متغيرين بيانيا
حل المعادلتين بيانيا معناه ايجاد نقط التقاطع بين المستقيمين الممثلين لهاتين للمعادلتـــــين
و هناك ثلاث احتمالات لا رابع لهما
1) اذاكان المستقيمان متقاطعـــــان
في نقطة واحدة كان الحل وحـيد

2)اذا كان المستقيمان منطبقــــــان
كان هناك عدد لا نهائي من الحلول
نجد ان المعادلتين متساوين تماما
3)اذا كان المستقيمان متوازيان وغير
منطبقان فان مجموعة الحل تكون ف
نجد ان المعادليين متساوين ولكن الاختلاف فى النواتج




حل المعادله من الدرجه الثانيه فى مجهول واحد
باستخدام القانون العام
اللي ما يجيش ودي يجي بالقانون و المقصود عزيزي الطالب بكلمة ودي أحد انواع التحليل المختلفة و اذا فشل حل المعادلة باستخدام التحليل فعليك باستخدام القانون " فهمت ولا لسة"
الصورة العامة للقانون
إذا كانت المعادلة هي ا س 2 + ب س+ ج = صفر حيث ا  صفر

فان الصورة العامة للقانون تكون س =

أصفار الدوال كثيرة الحدود

أصفار الدالة معناها : قيم س التي تجعل الدالة = صفر و أصفار الدالة تعتمد اعتماد كلي على التحليل
مجال الدالة الكسرية
المجال هو كل قيم الأعداد الحقيقة ح ما عدا أصفار المقام يكتب على الصورة ح – { أصفار المقام } لاحظ لابد أن نساوي المقام بالصفر
المجال المشترك لدالتين أو أكثر
المجال المشترك للدوال = ح – { م. أصفار مقامات الدوال كلها بدون تكرار }
المقصود باختزال الدوال الكسرية هو الاختصار و التبسيط و يكون عن طريق تحليل كل من البسط و المقام ثم التخلص من العوامل المشتركة
تذكر أن مجال الدالة الكسرية = ح – { مجموعة أصفار المقام }
تساوي دالتين كسريتين
تتساوى الدالتان الكسريتان اذا كان لهما
1) نفس المجال ، 2) نفس الكسر(الاختزال ) في ابسط صورة
اما اذا كان الاختزال يساوى الاختزال والمجال لا يساوى المجال
فان ن (س )= ن (س)
العمليات على الكسور الجبرية
الخطوات 1) التحليل تحليلا تاما
2) المجال وهو ح – أصفار المقام
3) الاختزال
4) العمليه
أولا : جمع الكسور الجبرية
عند جمع و طرح الدوال الكسرية فقط نوحد المقامات
اولا اذا كان المقام متشابه نجمع على طول البسطين
وخلى بالك مجال الدالة = مجال معكوسها الجمعي
طرح الدوال الكسرية
انتبه جيدا عزيز ي الطالب و الطالبة خطوات الطرح هي نفسها خطوات الجمع

ضرب الكسور الجبرية

ضرب الكسور و قسمتهــــا لا يحتاج الى توحيد المقامات

المعكوس الضربي للدالة الكسرية غالبا يرمز للمعكوس الضربي بأحد الرموز الآتية

د-1 ( س ) ، أو

ويكون مجال الدالة التي لها معكوس ضربي =ح – {مجموعة اصفار البسط والمقام }

قسمة الدوال الكسرية

عزيزي الطالب قسمة الدوال الكسرية هي نفس قسمة الاعداد الكسرية
ولاحظ ان المجال هو ح –ةاصفار مقام الاول وبسط ومقام الثانى ’


الحـدث

الحدث مجموعة جزئية من فضاء العينة
أنواع الاحداث
(1) الحدث الاولى ( البسيط ) :- هو الحدث الذى يحتوى على عنصر واحد من ف
(2) الحدث المؤكد :- هو الحدث الذى يحتوى على جميع عناصر الفضاء (ف) = 1
(3) الحدث المستحيل:- هو الحدث الذي لا يحتوى على أية عناصر ( المجموعة الخالية  ) = صفر

العمليات على الأحداث :-
(1) الاتحاد :-
ل ( أ  ب ) = ل ( أ ) + ل ( ب ) – ل ( أ  ب )


وهو يعنى لفظيا – احتمال وقوع أ أو ب
- احتمال وقوع أحد الحدثين على الأقل
(2) التقاطع



وهو يعنى لفظيا احتمال وقوع أحد الحدثين معا

احتمال وقوع أ و ب
حالات خاصة :-
** إذا كان أ ، ب حدثان متنافيان فان ل ( أ  ب ) = ٌ0 أ  ب =ف
وفى هذه الحالة يكون ل( أ  ب ) = ل( أ ) + ل (ب)
** إذا كان أ  ب فان
ل ( أ  ب) = ل ( أ ) ،،،، ل ( أ  ب ) = ل ( ب )

** إذا كان ب  أ فان
ل ( أ  ب) = ل ( ب ) ،،،، ل ( أ  ب ) = ل ( أ )







اللهم اجعل هذا العمل صالحا ولوجهك خالصا ولا تجعل لأحد غيرك فيه من شيء يارب العالمين























المراجعه النهائيه xالهندسه

(1) قياس القوس = قياس الزاوية المركزية المقابلة له
(2) قياس القوسقياس الدائرة = طول القوس طول الدائرة ،
طول القوس = × 2 ط نق

(3) فى الدائرة الواحدة أو فى الدوائر المتطابقة القوسين المتساويان فى القياس متساويان فى الطول والعكس صحيح
(4)" " " " " " " " " " يقابلهما وتران متساويان فى الطول والعكس صحيح
(5) الوترين المتوازيان يحصران بينهما قوسين متساويان فى القياس
(6) إذا وازى مماسا للدائرة وترا فى الدائرة فإنهما يحصران بينهما قوسين متساويان فى القياس نظرية (1)
قياس الزاوية المحيطية يساوى نصف قياس الزاوية المركزية المشتركة معها فى قوس واحد
معطى : أ pمحيطية , جـ م ب فف مركزية مشتركتان فى (جـ ب )
مطلوب : ق ( أ p) = 12 ق (جـ م بفف)
البرهان : A م أ = م جـ = نق B ق ( أ p) = ق ( جـ p)
A جـ م بفف خارجة عن مم أ م جـ B ق (جـ م بفف) = ق ( أ p) + ق ( جـ p) = 2 ق ( أ p)
B ق ( أ p) = 12 ق (جـ م بفف) #
$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$
نتائج نظرية (1)
(1) قياس الزاوية المحيطية = نصف قياس القوس المقابل لها.
2) الزاوية المحيطية المرسومة فى نصف دائرة قائمة

تمارين مشهورة
1)) إذا كان أ ب ، جـ ء وترين متقاطعين داخل الدائرة
فإن ق (أ هـ جـ فف) = 12 { ق ( أ جـ ) + 12 ق (ء ب ) }

2)) إذا كان أ ب ، جـ ء وترين متقاطعين خارج الدائرة
فإن ق (أ هـ جـ فف) = 12 { ق ( أ جـ ) ـــ ق (ء ب ) }
نظرية (2) الزوايا المحيطية المشتركة فى قوس واحد متساوية فى القياس
معطى : أ p ، ب p , جـ p زوايا محيطية مشتركة فى هـ ء
مطلوب : ق ( أ p) = ق ( ب p ) = ق ( جـ p )
البرهان : A أ pمحيطية B ق ( أ p) = 12 ق ( ء هـ )
بالمثل ق ( ب p ) = 12 ق ( ء هـ ) , ق ( جـ p ) = 12 ق ( ء هـ )
B ق ( أ p) = ق ( ب p ) = ق ( جـ p ) #
نتيجة : الزوايا المحيطية التى تحصر أقواسا متساوية فى القياس تكون متساوية فى القياس
تمرين مشهور ( 3 و 4)
إذا تقاطع وتران داخل دائرة فإن حاصل ضرب طولي جزئي الوتر الأول يســــــــــــــاوي حاصــــــــــل ضرب طــــــولي جزئي الوتر الثاني .


لهس ْ× لهس ب = لهس لجس × لهس ْْْ












عكس نظرية (2)
إذا كانت الزاويتان المرسومتان على قاعدة واحدة وفى جهة واحدة منها متساويتان فى القياس
فإن رأسيهما تقعان على دائرة واحدة وهذه القاعدة وترا فيها
A ق (جـ أ بفف) = ق (جـ ء بفف) وهما مشتركتان فى القاعدة ب جـ وفى جهة واحدة منها
B أ , ب ، جـ , ء تقع على دائرة واحدة ويكون الشكل أ ب جـ ء رباعى دائرى

نظرية (3) إذا كان الشكل الرباعى دائرى فإن كل زاويتان متقابلتان فيه متكاملتان
معطى : أ ب جـ ء شكل رباعى دائرى
مطلوب : ق( أ p) + ق( جـ p) = 180 ْ , ق( ب p) + ق( ء p) = 180 ْ
البرهان :
A أ pمحيطية B ق ( أ p) = 12 ق (ب جـ ء )
A جـ pمحيطية B ق ( جـ p) = 12 ق (ب أ ء )
Bبالجمع ينتج أن : ق ( أ p) + ق ( جـ p) = 12 ق (ب جـ ء ) + 12 ق (ب أ ء ) = 12 × 360 ْ = 180 ْ
بالمثل ق( ب p) + ق( ء p) = 180 ْ #

نتيجة : قياس الزاوية الخارجة عند أى رأس من رؤوس الشكل الرباعى الدائرى
تساوى قياس الزاوية الداخلة المقابلة للمجاورة لها

A أ ب جـ ء رباعى دائرى , أ ب هـفف خارجه عنه B ق ( أ ب هـ فف) = ق ( ء p)
عكس نظرية (3) يكون الشكل الرباعي دائري إذا كان فيه زاويتان متقابلتان متكاملتان
عكس النتيجة : يكون الشكل الرباعي دائري إذا وجدت زاوية خارجة عند أحد رؤوسه قياسها يساوى قياس الزاوية الداخلة المقابلة للمجاورة لها






ملخص حالات الرباعى الدائرى :

يكون الشكل الرباعى دائرى إذا وجدت فيه إحدى الحالات الآتية:
(1) إذا وجدت نقطة ثابتة فى المستوى تبعد عن كل رأس من رؤسه بعدا ثابتا(بمعنى أن رؤسه تقع على دائرة واحدة )
(2) إذا وجدت زاويتان مرسومتان على أحد أضلاعه كقاعدة وفى جهة واحدة منها متساويتان فى القياس
(3) إذا وجدت فيه زاويتان متقابلتان متكاملتان
(4) إذا وجدت زاوية خارجة عند أحد رؤسه قياسها يساوى قياس الزاوية الداخلة المقابلة للمجاورة لها
ملاحظة :
(1) المربع ، المستطيل , شبه المنحرف المتساوى الساقين أشكال رباعية دائرية
(2) متوازى الأضلاع ، المعين , شبه المنحرف أشكال ليست رباعية دائرية



((الدراسة سابقة ))
(1) المماس يكون عموديا على نصف القطر( أو القطر) المرسوم من نقطة التماس
(2) المماسان المرسومان لدائرة من نهايتى قطر فيها متوازيان
نظرية ( 4 ) القطعتان المماستان المرسومتان من نقطة خارج دائرة لهذه الدائرة متساويتان فى الطول


معطى : أ ب , أ جـ مماستان
مطلوب : أ ب = أ جـ
العمل : نرسم م أ , م ب , م جـ
البرهان : A أ ب مماسة , م ب نصف قطر
B ق ( ب p ) = 90 ْ بالمثل ق ( جـ p ) = 90 ْ
أ م ضلع مشترك
Aمم مم أ ب م , أ جـ م فيهما م ب = م جـ = نق
ق ( ب p ) = ق ( جـ p ) = 90 ْ
B ينطبق مم مم وينتج أن أ ب = أ جـ #
نتائج نظرية ( 4 ) :
(1) المستقيم المار بمركز الدائرة و نقطة تقاطع مماسين لها يكون محورا لوتر التماس لهذين المماسين
(2) المستقيم المار بمركز الدائرة و نقطة تقاطع مماسين لها ينصف الزاوية بين هذين المماسين كما ينصف الزاوية بين نصفى القطرين المارين بنقطتى التماس
تمرين مشهور :مركز الدائرة الداخلة لأى مثلث هو نقطة تقاطع منصفات زواياه الداخلة
تذكر أن : مركز الدائرة الخارجة لأى مثلث هو نقطة تقاطع محاور تماثل أضلاعه
الزاوية المماسية :
هى الزوية المكونة من اتحاد شعاعين احدهما مماس للدائرة و الاخر يحمل فى الدائرة يمر بنقطة التماس
نظرية ( 5) قياس الزاوية المماسية تساوى قياس الزاوية المحيطية المشتركة معها فى القوس
معطى : أ ب مماس , أ ء وتر
مطلوب : ق ( ء أ بفف) = ( جـ p)
البرهان : A ء أ بفف مماسية B ق (ء أ ب فف) = 12 ق ( أ ء )
ء جـ أفف محيطية B ق (ء جـ أ فف) = 12 ق ( أ ء ) B ق (ء أ ب فف) = ق ( ء جـ أ فف)
نتيجة : قياس الزاوية المماسية تساوى نصف قياس الزاوية المركزية المشتركة معها فى قوس واحد
عكس نظرية (5) : إذا كان قياس الزاوية المحصورة بين وتر فى دائرة وشعاع بدايته إحدى نهايتى الوتر
يساوى قياس الزاوية المحيطية المنشأة على الوتر من الجهة الأخرى فإن هذا الشعاع يكون مماسا للدائرة
Aق (ء أ ب فف) = ق ( ء جـ أ فف) B أ ب مماس للدائرة
فمثلا : إذا كانت ق ( هـ س ع فف) = ق ( ص p )
فإن س هـ مماس للدائرة المارة بالنقط س, ص , ع



أتمنى لكم التوفيق والنجاح
وأشوفك السنة الجايه xأولى ثانوي عام
أن شاء الله