المراجعة النهائية Xالهندسـة

المراجعة النهائية Xالهندسـة

البعد بين نقطتين
اذا كان أ ( س 1 ، ص 1 ) ، ب ( س 2 ، ص 2 ) فان البعد بين نقطتين أ ، ب = ا ب = طول ا ب =

= مربع فرق السينات + مربع فرق الصادات = ( س 2 - س 1)2 + (ص 2 - ص 1 )2 = عدد موجب

أحداثيات نقطة التنصيف
إذا كانت أحداثيات أ = ( س1 ، ص1 ) ،، ب = ( س2 ، ص2 ) فإن

أحداثيات منتصف أ ب = ( ـــــــــــــــ ، ـــــــــــــــــــ )
الميـــــــــــــل
ميل مستقيم بمعلومية نقطتين
المستقيم المار بالنقطتين (س1 ، ص1) ، (س2 ، ص2 ) يتعين من العلاقة م = ـــــــــــــــــــــ
ميل المستقيم الذى معادلته
أ س + ب ص + جـ = 0 الميل = ــــــــــــــــــــ
ميل المستقيم الذى يصنع مع الاتجاه الموجب لمحور السينات زاوية قياسها هـ
الميل = ظا هـ
معادله خط مستقيم بدلاله ميله م ويقطع محور الصادات فى النقطة ( 0 ، جـ )[يقطع جـ من محور الصادات]
ص = م س + جـ
ملاحظـــــــات هامة :-
(1) ميل المستقيم يكون عدد حقيقي موجب أو سالب أو صفر
(2) ميل أي مستقيم أفقي ( يوازى محور السينات ) = صفر وهو المستقيم الذي معادلته (ص=ثابت)
(3) ميل أي مستقيم رأسي(يوازى محور الصادات) = ( غير معرف ) وهو المستقيم الذي معادلته (س=ثابت)
(4) إذا كان ميل المستقيم موجب يكون شكله ( ) أما إذا كان الميل سالب يكون شكله( )
أما إذا كان ميله = 0 يكون شكله ( ) وإذا كان ميله غير معرف يكون شكله( )
(5) يمكن إيجاد ميل مستقيم بيانيا عن طريق القانون م =
(6) العلاقة بين ميلى المستقيمين المتوازيين
إذا توازى مستقيمان تساوى ميلاهما
أي أنه إذا كان ل1 ، ل2 مستقيمان في المستوى وكان ميلاهما م1 ، م2
و كان ل1 // ل2 فأن م1 = م2 بمعنى م1 – م2 = صفر
والعكس صحيح أي أنه إذا تساوى ميلي مستقيمين في المستوى كانا المستقيمين متوازيين
(7) العلاقة بين ميلي المستقيمين المتعامدين
إذا تعامد مستقيمان فأن حاصل ضرب ميلاهما = - 1
أي أنه إذا كان ل1 ، ل2 مستقيمان في المستوى وكان ميلاهما م1 ، م2
و كان ل1  ل2 فأن م1 × م2 = -1
والعكس صحيح أي أنه إذا حاصل ضرب ميلي مستقيمين في المستوى = -1 كانا المستقيمين متعامدان
( الزاوية بين المستقيمين س = ثابت ، ص = ثابت تساوى 90 ْ


لإثبات إن ا ، ب ، جـ على استقامة واحدة
( أولا باستخدام البعد بين نقطتين )
نوجد ا ب ، ب جـ ، جـ ا ويكون البعد الأكبر = مجموع البعدين الآخرين
( ثانيا باستخدام الميل)
نوجد ميل اى نقطتين نجد انه يساوى ميل اى نقطتين اخرتين
لإثبات إن ا ، ب ، جـ هي رؤؤس مثلث نوجد ا ب ، ب جـ ، جـ ا ويكون
(باستخدام البعد بين نقطتين)
مجموع اى بعدين > البعد الثالث لان مجموع طولي اى ضلعين في مثلث اكبر من طول الضلع الثالث
أولا التعرف على نوع المثلث من حيث الزوايا :
( أولا باستخدام البعد بين نقطتين )
1) حاد الزوايا : مربع الضلع الأكبر < مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين
2) قائم الزاوية : مربع الضلع الأكبر = مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين عكس نظريه فيثاغورث
يمكن إثباته باستخدام الميل ميل الضلعين المتعامدان =-1
3) منفرج الزاوية : مربع الضلع الأكبر > مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين
ثانيا التعرف على نوع المثلث من حيث الإضلاع :
(باستخدام البعد بين نقطتين )
1)مختلف الإضلاع ا ب ≠ ب جـ ≠ جـ أ
2) متساوي الساقين نوجد ا ب ، ب جـ ، جـ ا ويكون به ضلعين متساوين
3 ) متساوي الإضلاع ا ب = ب جـ = جـ ا
لإثبات إن ا ، ب ، جـ ، د هي رؤوس او ( ا ب جـ د )
1) متوازي الإضلاع :
(اولا با ستخدام البعد ببن نقطتين )
كل ضلعين متقابلين متساويان في الطول ا ب = حـ د ، ب جـ = د أ
( ثانيا باستخدام الميل) ميل أ ب = ميل جـ ء أ ب // جـ ء
، ميل ب جـ = ميل أ ء  ب جـ // أ ء
( ثالثا باستخدام المنتصف ) القطران ينصف كل منها الأخر منتصف أ جـ = منتصف ب ء
2) معين :
(أولا باستخدام البعد ببن نقطتين )
إضلاعه الأربع متساوية في الطول ا ب = حـ د = ب جـ = د أ
( ثانيا باستخدام الميل)
ميل أ ب = ميل جـ ء أ ب // جـ ء & ميل ب جـ = ميل أ ء  ب جـ // أ ء
ميل أ جـ x ميل ب ء = - 1  أ جـ M ب ء
( ثالثا باستخدام المنتصف ) القطران ينصف كل منها الأخر منتصف أ جـ = منتصف ب ء
3) مستطيل:
(اولا با ستخدام البعد ببن نقطتين )
كل ضلعين متقابلين متساويان في الطول وقطراه متساويان ا ب= حـ د ، ب جـ = د أ ، ا جـ = ب د
( ثانيا باستخدام الميل)
ميل أ ب = ميل جـ ء أ ب // جـ ء & ميل ب جـ = ميل أ ء  ب جـ // أ ء
ميل أ ب x ميل ب جـ = - 1  أ ب M ب جـ
( ثالثا باستخدام المنتصف ) القطران ينصف كل منها الاخر منتصف أ جـ = منتصف ب ء
4)مربع :
(اولا با ستخدام البعد ببن نقطتين )
إضلاعه الأربع متساوية فى الطول وقطراه متساويان ا ب = حـ د = ب جـ = د أ، ا جـ = ب د
( ثانيا باستخدام الميل)
ميل أ ب = ميل جـ ء أ ب // جـ ء & ميل ب جـ = ميل أ ء  ب جـ // أ ء
ميل أ ب x ميل ب جـ = - 1  أ ب M ب جـ
ميل أ جـ x ميل ب ء = - 1  أ جـ M ب ء
( ثالثا باستخدام المنتصف ) القطران ينصف كل منها الاخر منتصف أ جـ = منتصف ب ء