التحليل ( الباب الاول )

تحليل ا لمقادير ا لجبرية
أنواع ا لتحليل :
(1) تحليل بإخراج ا لعامل ا لمشترك الأعلى ع . م . أ [ عدد الحدود غير محدد ]
(2) تحليل ا لمقدار ا لثلاثي بأنواعه [ ثلاث حدود ]
(3) ا لفرق بين ا لمربعين [ حدين مربع كامل بينهما اشارة سالب ]
(4) الفرق بين ا لمكعبين [ حدين مكعب كامل بينهما اشارة سالب ]
(5) مجموع ا لمكعبين [ حدين مكعب كامل بينهما اشارة موجب ]
(6) ا لتحليل با لتقسيم [ اربعة حدود أو أكثر ]

[1] ا لـتـحـلـيـل بـإخـراج ا لـعـامـل ا لمـشـتر ك الأعـلـى :

حلل ا لمقدار : 5 أ ب ــ 10 ب حـ = 5 ب ( أ ــ 2 حـ )
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
حلل ا لمقدار : 14 س2 + 28 س ص = 14 س ( س + 2 ص )
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
حلل ا لمقدار : 15 أ3 ب ــ 2أ2 ب2 + 12 أ ب3 = 3 أ ب ( 5 أ2 ــ 7 أ ب + 4 ب2 )
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
باستخدام ا لتحليل أوجد قيمة : 45 × 55 + ( 45 )2
ا لمقدار = 45 ( 55 + 45 ) = 45 × 100 = 4500
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
حلل تحليلا كاملا ا لمقدار : 2 أ ( أ + ب ) ( 3 أ ــ ب ) + 2 أ ( أ + ب )
ا لمقدار = 3 أ ( أ + ب ) ( 3 أ ــ ب

[2] تحـلـيـل ا لمـقـدار ا لـثـلا ثـي عـلـي ا لصــورة أ س@ + ب س + حـ )
ا لحالة الأولى : ( معامل س2 = 1 )

: قبل ا لبدء في تحليل ا لمقدار ا لثلاثي يجب إ تباع الآتي :
(1) ترتيب حدود ا لمقدار تنازلياً ( هذا افضل ) حسب أ س ا لرمز ا لمعطى
(2) استخراج ع 0 م 0 أ لجميع حدود ا لمقدار ( إن وجد ) ثم نبدأ با لتحليل
(3) فك الاقواس ان وجدت

حلل ا لمقدار : س2 + 11 س + 28
نقوم بفتح قوسين ونقوم بتحليل س2 إلى س × س ونضعه فى بداية القوسين ثم نحلل العدد 28 إلى عددين بشرط أن يكون مجموعهم يساوى 11فنجدهما 4 × 8 فنضعهما فى نهاية القوسين فيكون التحليل كما يلى
= ( س +4 ) ( س + 7 )
حلل ا لمقدار : ب2 ــ 8 ب ــ 33
نقوم بفتح قوسين ونقوم بتحليل س2 إلى س × س ونضعه فى بداية القوسين ثم نحلل العدد 33 إلى عددين بشرط أن يكون طرحهم يساوى-8 فنجدهما -11 × 3 فيكون التحليل كما يلى :
= ( ب ــ 11 ) ( ب + 3 )
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
حلل ا لمقدار : س2 ــ 9 س ص + 20 ص2 =
نقوم بفتح قوسين ونقوم بتحليل س2 إلى س × س ونضعه فى بداية القوسين ثم نحلل العدد20إلى عددين بشرط أن يكون مجموعهم يساوى-9 فنجدهما -4 × -5 اوعى تنسى ص فيكون التحليل كما يلى :
=( س ــ 4 ص ) ( س ــ 5 ص )
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
حلل ا لمقدار : 2س@ ص ــ 4 س ص ــ 48 ص اوعى تنسى العامل المشترك
ا لمقدار = 2 ص ( س@ ــ 2 س ــ 24 ) = 2 ص ( س ــ 6 ) ( س + 4 )
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
مثال : أوجد قيمة ك ا لتي تجعل ا لمقدار الآتي قابل للتحليل :
أ2 + ك أ + 24 ( حيث ك > 0 )
: ( أ ــ 1 ) ( أ ــ 24 )  ك = ــ 25
ا لحــــــــــــــــــل ( أ ــ 3 ) ( أ ــ 8 )  ك = ــ 11
( أ ــ 4 ) ( أ ــ 6 )  ك = ــ 10
( أ ــ 2 ) ( أ ــ 12)  ك = ــ 14
ا لحالة ا لثانية : ( معامل س2 ≠ 1 )
كيفية تحليل المقدار الثلاثى الغير بسيط أ س2 + ب س + جـ ( أ ≠ + 1)
نحلل الحد الاول أ س2 الى عاملين حاصل ضربهما أ س2 نحلل الحد الاخير جـ الى عاملين حاصل ضربهما جـ
لا بد أن يتحقق فى القوسين حاصل ضرب الطرفين + حاصل ضرب الوسطين = الحد الاوسط

حلل ا لمقدار : 5 س2 + 17 س + 6
ا لــحــــــــــل ا لمقدار = ( 5 س + 2 ) ( س + 3 )

حلل ا لمقدار : 2 س2 ــ س ــ 6
ا لحـــــــــــــــــل ا لمقدار = ( س ــ 2 ) ( 2 س + 3 )

حلل ا لمقدار : 4 أ2 ــ 8 أ ــ 21
ا لحــــــــــــــــــــل : ا لمقدار = ( 2 أ ــ 7 ) ( 2 أ + 3 )
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ا لحالة ا لثالثة : ( ا لمقدار ا لثلاثي ا لمربع كامل )
ؤاوعى تنسى مفكوك مربع ذى حدين = مربع الاول + 2 الاول × الثانى + مربع الثانى
ا لمقدار ا لثلاثي ا لمربع كامل يتوفر فيه :
(1) ا لحد الأول و ا لحد ا لثالث له جذر تربيعي ( مربع كامل )
(2) إشارة ا لحد الأول و ا لحد ا لثا لث موجبة
(3) ا لحد الأوسط = ± 2 ا لحد الأول × ا لحد ا لثالث

و يكون ناتج ا لتحليل = ( ا لأول إشارة الأوسط ا لثالث )2
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
حلل ا لمقدار : 4 س2 + 36 س ص + 81 ص2

ا لـحــــــــــــــــل ا لمقدار مربع كامل لتوفر ا لشروط
ا لمقدار = ( 2 س + 9 ص ) ( 2 س + 9 ص )
= ( 2 س + 9 ص )2
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
حلل ا لمقدار : 25 ص2 + 10 ص + 1

الحـــــــــــــــــــــل ا لمقدار = ( 5 ص + 1 )2
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
مثال : 81 س2 + 0000 + 4 أوجد ا لحد ا لناقص ليكون مربعاً كاملا

ا لحـــــــــــــــــــــل : ا لحد الأوسط = ± 2 ا لحد الأول × ا لحد ا لثالث
= ± 2 × 9 س × 2 = 36 س
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
مثال : 0000 ــ 60 أ ب + 25 ب2 ليكون ا لناتج مربعاً كاملا

( الحد الاوسط )2 (60 أ ب)@ 3600 أ@ب@
الحـــــــــــــــــــــل الحد الاول = ـــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــ = 36 أ@
4 × الحد الثالث 4 × 25 ب2 100ب@
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
مثال : 4 أ2 + 20 أ ب + 0000 أكمل ليكون ا لناتج مربعاً كاملاً

ا لحــــــــــــــــــــــــل : ا لحد الأوسط = ± 2 ا لحد الأول × ا لحد ا لثالث
(ا لحد الأوسط)@ ( 20 أ ب)@ 400 أ@ ب@
ا لحد ا لثالث = ــــــــــــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــــ = 25 ب
2ا لحد الأول 2 × 4 أ@ 8 أ@
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
إذا كان س2 + ص2 = 15 ، س ص = 3 أوجد ( س + ص)@

الحــــــــــــــــــــــل ( س + ص )2 = س@+ 2 س ص + ص@ = س@ + ص@ + 2 س ص
= 15 + 2 × 3 = 15 +6 = 21
إذا كان س2 + ص2 = 17 ، س ص = 4 أوجد س + ص
الحـــــــــــــــــل ( س + ص )2 = س2 + 2 س ص + ص2 = س2 + ص2 + 2 س ص
= 17 + 2 × 4 = 17 + 8 = 25 & س + ص = 25 = + 5
_________________________________________________________
إذا كان ( س+ ص)2 = 20 ، س2 + ص2 = 12 أوجد قيمة س ص
الحـــــــــــــــــــــــــــــل
( س + ص )2 = 20 2 س ص = 20 – 12
س2 + ص2 + 2 س ص = 20 2 س ص = 8
12 + 2 س ص = 20 س ص = 4
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
أستخدم التحليل فى تسهيل إيجاد قيمة كلا من المقادير الاتية
(1) ( 55 )2 + 2 × 55 × 45 + ( 45)2

الحـــــــــــــــــــــــل المقدار = ( 55 + 45 )2 = ( 100)2 = 10000
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
(2) (55)2 – 2 × 55 × 42 + ( 42)2

الحـــــــــــــــــــــل المقدار = ( 55 – 42 )2 = ( 13 )2 = 169
[3] تحـلـيـل فـــــرق بـيـن مــربـعــين :


ا لفرق بين مربعي ا لكميتين = ( الأول + ا لثاني ) ( الأول ـــ ا لثاني )

حلل 25 س2 ــ 49 ص2 = ( 5 س + 7 ص ) ( 5 س ــ 7 ص )
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
حلل تحليلا تاماً 100 س4 ــ 64 = 4 ( 25 س4 ــ 16 )
= 4 ( 5 س2 + 4 ) ( 5 س2 ــ 4 )
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
حلل ( 7 س ــ 3 )2 ــ ( 2 س + 1 )2
= [ 7 س ــ 3 ــ (2 س +1 ) ] [ 7 س ــ 3 + 2 س + 1 ]
= ( 7 س ــ 3 ــ 2 س ــ 1 ) (9 س ــ 2 )
= ( 5 س ــ 4 ) ( 9 س ــ 2 )
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
إذا كان س2 – ص2 = 24 ، س – ص = 4 أوجد قيمة س + ص
الحـــــــــــــــــــــــــــــل
س2 – ص2 = 24
( س – ص ) ( س + ص) = 24 س + ص = = 6
4 ( س + ص ) = 24
( إذا كان أ2 – ب2 = 35 ، أ + ب = 7 أوجد قيمة أ – ب
الحـــــــــــــــــــــل
أ2 – ب2 = 35
( أ – ب )( أ + ب) = 35 أ – ب = = 5
( أ – ب ) × 7 = 35
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
(9) أوجد بأستخدام التحليل قيمة المقدار (99)@ – 1

الحــــــــــــــــــــــــــــــــل (99)2 – 1 = ( 99 – 1 )( 99+1) = 98 × 100 = 9800
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
(10) أوجد بأستخدام التحليل قيمة (998)@ – 4

الحـــــــــــــــــــــــــــــــــل (998)@ – 4 = ( 998 – 2 )( 998 +2) = 996 × 1000 = 996000
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
(11) أوجد بأستخدام التحليل قيمة (75)@ – (25)@

الحــــــــــــــــــــــــــــل (75)@ – (25)# = (75 – 25 ) ( 75 +25) = 50 × 100 = 5000
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
باستخدام ا لتحليل أوجد قيمة : ( 547 )@ ــ ( 453 )@

الحــــــــــــــــــــــــل : ( 547 ــ 453 ) ( 547 + 453 ) = 94 × 1000 = 94000
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
مثال : إذا كان ( 56 )2 ــ ( 54 )2 = 2 س فأوجد قيمة س با لتحليل
ا لحــــــــــــــــــــــــل :
( 56 ــ 54 ) ( 56 + 54 ) = 2 س
2 × 110 = 2 س
س = 110

[4] تحليل ا لفرق بين مكعبين و مجموعهما :

(الاول)3- (الثانى)3 = [ الاول – الثانى] [ (الاول)2 + الاول × الثانى +(الثانى)2 ]
(الاول)3+ (الثانى)3 = [ الاول + الثانى] [ (الاول)2 - الاول × الثانى +(الثانى)2 ]

حلل أ3 ــ ب3 = ( أ ــ ب ) ( أ2 + أ ب + ب2 )
حلل أ3 + ب3 = ( أ + ب ) ( أ2 ــ أ ب + ب2 )
حلل س3 + 8 = ( س + 2 ) ( س2 ــ 2 س + 4 )
حلل 1 ــ ص3 = ( 1 ــ ص ) ( 1 + ص + ص2 )
حلل 125 أ3 + 8 = ( 5 أ + 2 )( 25 أ2 ــ 10 أ + 4 )

حلل ا لمقدار : ص6 ــ 64 = كفرق بين مربعين
= ( ص3 ــ 8 ) ( ص3 + 8 )
= ( ص ــ 2 ) ( ص2 + 2 س + 4 ) ( ص + 2 ) ( ص2 ــ 2 ص + 4 )
ممكن تتجى بحل اخر
حل آخر : ص6 ــ 64 = كفرق بين مكعبين
= ( ص2 ــ 4 )( ص4 + 4 ص2 + 16 )
= ( ص + 2 ) ( ص ــ 2 )( ص4 + 4 ص2 + 16 )


ملحوظة : ا لمقدار ا لثلاثي ا لناتج من تحليل فرق أ و مجموع مكعبين لا يمكن تحليله 0
حلل س3 ــ 9 = ( س3 ــ 27 )

= ( س ــ 3 ) ( س2 + 3 س + 9 )
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
(9) إذا كان س – ص = 3 ، س2 + س ص + ص2 = 7 أوجد س3 – ص3

الحــــــــــــــــــل س3 – ص3 = ( س – ص )( س2 + س ص + ص2 ) = 3 × 7 = 21
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
(10)إذا كان س3 – ص3 = 30 ، س – ص = 5 أوجد س2+س ص+ص2
الحــــــــــــــــــــــــل
س3 – ص3 = 30 س2+س ص+ص2= = 6
(س – ص)( س2 + س ص + ص2) = 30
5 ( س2+س ص+ص2) = 30

[5] ا لـتـحـلـيـل با لـتـقـسـيـم :

ا لطريقة : (1) نقسم ا لمقدار إلى مقدارين أ و أكثر حسب عدد حدود ا لمقدار
(2) نستخرج ع 0 م 0 أ من ا لمقدار إن وجد
(3) نخرج ع 0 م 0 أ من ا لمقادير
حلل تحليلاً تاماً : أ حـ + أ د + ب حـ + ب د
ا لحــــــــــــــــــــل ا لمقدار = ( أ حـ + أ د ) + ( ب حـ + ب د )
= أ ( حـ + د ) + ب ( حـ + د )
= ( حـ + د ) ( أ + ب )
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
حلل ا لمقدار : 2 أ2 ــ 2 ب + أ ب ــ 4 أ
ا لحـــــــــــــــــــــل : ا لمقدار = (2 أ2 ــ 4 أ ) + ( أ ب ــ 2 ب )
= 2أ ( أ ــ 2 ) + ب ( أ ــ 2 )
= ( أ ــ 2 ) ( 2 أ + ب )
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
حلل ا لمقدار : 6 أ3 ب ــ 36 أ2 ب ــ 4 أ2 ب2 + 24 أ ب2
ا لحــــــــــــــــــل : ا لمقدار = 2 أ ب ( 3 أ2 ــ 18 أ ــ 2 أ ب + 12 ب )
= 2 أ ب [ ( 3 أ2 ــ 18 أ ) + ( ــ 2 أ ب + 12 ب ) ]
= 2 أ ب [ 3 أ ( أ ــ 6 ) ــ 2 ب ( أ ــ 6 ) ]
= 2 أ ب ( أ ــ 6 ) ( 3 أ ــ 2 ب )
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
حلل س2 – 5 س – 4 ص2 +10 ص
الحــــــــــــــــــــــل
المقدار = ( س2 – 4 ص2 ) – ( 5 س – 10 ص )
= ( س – 2 ص )( س+2ص) – 5 ( س – 2 ص )
= ( س – 2 ص )( س +2 ص – 5 )
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
مثال حلل 4س2 +20 س ص +25 ص2 – 9
الحــــــــــــــــــل
المقدار = ( 4س2 +20 س ص +25 ص2 ) – 9 =(2س+5ص)2 – 9
= ( 2س +5 ص – 3 )( 2س +5ص +3 )
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ حلل 3س3 +2 س2 +12س +8
الحــــــــــــــــــل
المقدار = (3س3 +2س2) + ( 12س +8 )
= س2 (3س+2) + 4 (3س+2) = (3س+2)( س2 +4)

[6] الـتـحـلـيـل بـإكـمـال المــربــــع

توجد بعض المقادير التي ليست بمربعات كاملة ولكن يمكن إكمالها لتكتب على الصورة: مقدارثلاثى مربع - مربع كامل
طريقة التحليـل بإكمـال المـربع :
نضيف إلى المقدار المعطى ضعف حاصل ضرب جذري المربعين ثم نطرحه حتى لايتغير المقدار .
باستخدام الإبدال والدمج نعيد ترتيب الحدود المقدار حتى نصل الى الصورة : .
مقدار ثلاثى مربع كامل – مربع كامل
نحلل المقدار كفرق بين مربعين ( كما سبق شرحه ) .
إن أمكن تحليل المقادير الناتجة حتى يكون التحليل كاملا.

حلل س$ + 4
الحـــــــــــــــــــــــــــــل
س$ + 4 = ( س4 + 4 س2 + 4 ) – 4 س2
= ( س2 +2)2 – 4 س2
= ( س2 + 2 – 4 س )(س2 +2 + 4 س )
= ( س2 – 4 س +2 ) ( س2 +4 س +2 )
مثال حلل س4 + 64
الحـــــــــــــــــــــــــــــــل
س4 + 64 = ( س4 + 16 س2 + 64 ) – 16 س2
= ( س2 + 8 )2 – 16 س2
= ( س2 +8 – 4 س )( س2 + 8 + 4 س )
= ( س2 – 4س +8 )( س2 +4 س +8 )
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
مثال حلل س4 + 4 ص4
الحــــــــــــــــــــــــــــــل
س4 + 4ص4 = ( س4 + 4 س2 ص2 + 4 ص4) – 4 س2 ص2
= (س2 + 2 ص2)2 – 4 س2 ص2
= ( س2 +2 ص2 – 2 س ص ) ( س2 +2 ص2 + 2 س ص )
= (س2 – 2 س ص +2 ص2) (س2 + 2 س ص +2 ص2)
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
مثال حلل 9 س4 + 2 س2 + 1
الحــــــــــــــــــــــــــــل
9س4 +2 س2 +1 = ( 9 س4 + 6س2 +1 ) + 2 س2– 6 س2
= (9 س4 + 6 س2 +1) – 4 س2
= ( 3س2 +1)2 – 4 س2
= ( 3س2 +1 – 2 س )( 3 س2 +1 +2 س)
= ( 3س2 – 2 س +1) ( 3س2 +2 س +1 )
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
مثال حلل س4 +9 س2 + 81
الحــــــــــــــــــــــــــــل
س4 +9 س2 + 81 = ( س4 + 18 س2 +81 ) +9 س2 – 18 س2
= ( س4 +18 س2 +81 ) – 9 س2
= (س2 + 9 )2 – 9 س2
= (س2 +9 – 3 س )( س2 +9 +3 س)
= ( س2 – 3 س +9 )( س2 +3 س +9 )
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
مثال حلل س4 – 28 س2 +16
الحــــــــــــــــــــــــــل
س4 – 28 س2 +16 = ( س4 + 8 س2 + 16 ) – 28س2 – 8 س2
= ( س2 +4)2 – 36 س2
= (س2+4 – 6س)( س2 +4 +6 س )
= ( س2 – 6 س +4 )( س2 +6 س +4 )
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
مثال حلل أ4 + 4 أ2 ب2 +16 ب2
الحـــــــــــــــــــــــــــــــل
أ4 +4 أ2 ب2 +16 ب2 =(أ4 + 8 أ2 ب2 + 16 ب4) + 4 أ2 ب2 – 8 أ2 ب2
= ( أ2 +4 ب2 )2 – 4 أ2 ب2
= ( أ2 +4 ب2 – 2 أ ب )( أ2 +4 ب2 +2 أ ب)
=(أ2 – 2 أ ب +4 ب2)( أ2 + 2 أ ب + 4 ب2)

* تطبيقات علي ا لتحليل *

ا لمعادلة : أ س2 + ب س + حـ = 0 حيث أ ± 0 من ا لدرجة ا لثانية في متغير
واحد ( معادلة تربيعية ) 0
حقيقة : إذا كان أ ، ب Э ن ، أ × ب = صفر فإن أ = 0 أ و ب = 0
و تستخدم هذه ا لحقيقة في ا لحل للمعادلة 0

مثال : أوجد مجموعة ا لحل في ن لكل ممايأتي :
(1) س2 + 8 س + 12 = 0 (2) س2 + 2 س ــ 35 = 0
( 3) 4 س2 = 49 (4) 3 س2 = 7 س
(5) 4 ( س + 4 )2 = 49
ا لحــــــــــــــــــــــــل

(1) س2 + 8 س + 12 = 0 (2) س2 + 2 س ــ 35 = 0
( س + 2 ) ( س + 6 ) = 0 ( س ــ 5 ) ( س + 7 ) = 0
س + 2 = 0 أ، س + 6 = 0 س ــ 5 = 0 أ، س + 7 = 0
س = ــ 2 أ، س = ــ 6 س = 5 أ، س = ــ 7
م 0 ج = { ــ 2 ، ــ 6 } م 0 ج = { 5 ، ــ 7 }
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
(3) 4 س2 = 49 (4) 3 س2 ــ 7 س = 0

= س ( 3 س ــ 7 ) = 0
س = 0 أ، 3 س ــ 7 = 0
س =
س2 =
م 0 ج = { 0 ، }
س = 
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
م 0 ج = { ، ــ } (5) 4 ( س + 4 )2 = 49
حل آخر : 4 ( س + 4 )2 ــ 49 = 0
4 س2 ــ 49 = 0 [ 2 ( س + 4 ) + 7 ]
( 2 س + 7 ) ( 2 س ــ 7 ) = 0 [ 2 ( س + 4 ) ــ 7 ]= 0
2 س + 7 = 0 أ، 2 س ــ 7 = 0 ( 2 س + 15 ) ( 2 س ــ 1 ) = 0


س = أ، س = ــ 2 س + 15 = 0 ، 2 س ــ 1= 0
س = ــ ، س =


مستطيل طوله يزيد عن عرضه بمقدار 3 ومساحته 28 سم2 أوجد محيطه
الحـــــــــــــــــــــل
نفرض أن
عرضه = س ، طوله = س +3  عرضه = 4 سم وطوله = 7سم
مساحته = 28 محيطه = 2( 4 + 7 )
س ( س +3 ) = 28 = 2 × 11 = 22 سم
س2 +3س – 28 = 0
(س – 4 )( س +7 ) = 0
س = 4 س = -7 (مرفوض)
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
عدد صحيح موجب مربعه يزيد عن أربعة أمثاله بمقدار 21 أوجد هذا العدد
الحـــــــــــــــــــل
نفرض أن العدد = س مربعه = س2 أربعة أمثاله = 4س
س2 – 4 س = 21
س2 – 4 س – 21 = 0
( س – 7 )( س +3 ) = 0
س = 7 س = -3 (مرفوض)
 العدد = 7
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
مثال إذا كان (35)2 – ( 20)2 = 3 س أوجد قيمة س
الحــــــــــــــــــــــــــــــــل

( 35 – 20 )( 35 +20 ) = 3 س
15 × 55 = 3 س
س = = 275
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
مثال عددان الفرق بينهما = 3 ومجموع مربعيهما = 29 أوجد هذان العددان
الحـــــــــــــــــــــــــــــــل
نفرض أن العددان هما س ، س +3
س2 + ( س +3 )2 = 29
س2 + س2 +6س +9 – 29 = 0
2س2 +6 س – 20 = 0 ÷2
س2 +3س – 10 = 0
( س +5 )( س – 2 ) = 0
س = -5 (×) س = 2
العدد الاول = س = 2
العدد الثانى = س +3 = 2+3 = 5



تمارين ÷ التحـليل
حلل تحليلا كاملا ا لمقادير الآتية :

(1) س2 ــ 2 س ــ 35 (2) س2 ــ 15 س + 36
(3) 2 س2 ــ 3 س ــ 20 (4) 5 أ2 ــ 21 أ ب + 22 ب2
(5) 25 س2 + 10 س + 1 (6) 3 م3 + 3 م4 ــ 6 م2
(7) 3 س ــ 6 س2 ــ 24 س3 ( س2 ــ 3 س + 9
(9) س2 ــ 12 س + 36 (10) س2 ــ 5 س ــ 6
(11) 6 س2 + 13 س ــ 8 ( 12) 81 ص5 ــ ص3
( 13)9 س3 ــ 4 س ( 14) + 8
( 15) 24س2 ــ 6 ص2 ( 16) س3 + 125 ص3
( 17) 32 س3 ــ 500 ( 18) ( 67 )2 ــ ( 33 )2
(19) ب3 ــ 8 حـ3 (20) 2 أ2 ــ 8
(21) ل3 م + 27 م4 (22) 81س4 + 4 ع4
(23) أ ب + 6 م ن – 2 ب م – 3 أ ن (25) أ3 + ب3 – أ – ب
باستخدام ا لتحليل أوجد قيمة : (539 )2 ــ ( 461 )2
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
أ كــــــــــــــمـل ما يأتي ليكون ا لمقدار مربع كامل :
(1) 25 س2 + 0000 + 16 (2) 4 أ2 + 0000 + 36 ب2
(3) 4 أ2 + 12 أ ب + 0000 (4) 0000 + 6 س + 9
( 5) إذا كانت س – ص = 5 ، س + ص=8 فان س2 – ص2=0000000000
( 6) إذا كان أ2 – ب2 = 20 ، أ – ب = 4 أوجد أ + ب
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
(1) أوجد مجموعة ا لحل في ن للمعادلة 3 س2 ــ 4 س ــ 15 = 0
(2) حل ا لمعادلة ( س ــ 4 ) ( س + 3 ) ــ 44 = 0
(3) حل ا لمعادلة 8 س ( س ــ 2 ) ــ 9 ( س ــ 3 ) ــ 10 = 0
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
(1) عدد صحيح موجب يزيد مربعه عن خمسة أمثاله بمقدار 6 أوجد هذا العدد
(2) مربع عمر سعيد الان يزيد عن ثلاث أمثال عمره منذ 4 سنوات بمقدار 192 أوجد عمره الآن
(3) مستطيل طوله يزيد عن عرضه بمقدار 3 ومساحته 28 سم2 أوجد محيطه
(4) عددان فرديان متتاليان مجموع مربعيهما 34 أوجد هذان العددان