ملخص المفاهيم والنظريات والنتائج

ملخص المفاهيم والنظريات والنتائج

(1) قياس القوس = قياس الزاوية المركزية المقابلة له = ضعف قياس الزاوية المحيطية المقابلة له = ضعف قياس الزاوية المماسية المشتركة معه فى القوس

(2) قياس القوسقياس الدائرة = طول القوس طول الدائرة ، طول القوس = × 2 ط نق

(3) فى الدائرة الواحدة أو فى الدوائر المتطابقة القوسين المتساويان فى القياس متساويان فى
الطول والعكس صحيح

(4) فى الدائرة الواحدة أو فى الدوائر المتطابقة القوسين المتساويان فى القياس يقابلهما
وتران متساويان فى الطول والعكس صحيح

(5) الوترين المتوازيان يحصران بينهما قوسين متساويان فى القياس

(6) إذا وازىمماسا للدائرة وترا فى الدائرة فإنهما يحصران بينهما قوسين متساويان فى القياس
تذكر أن :
A ق( ا ه ) = ق( ه ب ) K طول ( ا ه ) = طول ( ه ب )
A ق( ا ه ) = ق( ه ب ) K ا ه = ه ب
A ا ب" // ج د" K ق( ا ج ) = ق( ب د )
A ه و" المماس // ا ب" الوتر B ق( ا ه ) = ق( ه ب )
7- نظرية (1) :قياس الزاوية المحيطية يساوى نصف قياس الزاوية المركزية المشتركة معها
فى قوس واحد
A ا ج ففب محيطية , ا م ب فف مركزية مشتركتان فى (ا ب )
B ق ( ا ج pب) = 12 ق ( ا م بفف)


B ق ( ا م بفف) = 2 ق ( ا ج pب)

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
نتائج نظرية (1)
(1) قياس الزاوية المحيطية = نصف قياس القوس المقابل لها.
(2) الزاوية المحيطية المرسومة فى نصف دائرة قائمة

A ا ب" قطر الدائرة B ق ( ا ج بفف) = 90 5
تمارين مشهورة
1)) إذا كان أ ب ، جـ ء وترين متقاطعين داخل الدائرة
فإن ق (أ هـ جـ فف) = 12 [ ق ( أ جـ ) + 12 ق (ء ب ) ]
، ا ه × ه ب = د ه × ه ج



2)) إذا كان ج ب ، هـ ء وترين متقاطعين خارج الدائرة
فإن ق (ه ا جـ فف) = 12 [ ق ( ه جـ ) ـــ ق (ء ب ) ]
، ا ج × ا ب = ا ه × ا د
8- نظرية (2) الزوايا المحيطية المشتركة فى قوس واحد متساوية فى القياس


A ه p ، د p , جـ p زوايا محيطية مشتركة فى ا ب
B ق ( ه p) = ق ( د p) = ق ( جـ p )

نتيجة : الزوايا المحيطية التى تحصر أقواسا متساوية فى القياس تكون متساوية فى القياس





A ق( ا ب) = ق( س ص ) B ق ( ا ج بفف) = ق ( س ص pع)
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

عكس نظرية (2)
إذا كانت الزاويتان المرسومتان على قاعدة واحدة وفى جهة واحدة منها متساويتان فى القياس
فإن رأسيهما تقعان على دائرة واحدة وهذه القاعدة وترا فيها
A ق (جـ أ بفف) = ق (جـ ء بفف) وهما مشتركتان فى القاعدة ب جـ وفى جهة واحدة منها
B أ , ب ، جـ , ء تقع على دائرة واحدة ويكون الشكل أ ب جـ ء رباعى دائرى


نظرية (3) إذا كان الشكل الرباعى دائرى فإن كل زاويتان متقابلتان فيه متكاملتان

A أ ب جـ ء شكل رباعى دائرى
B ق( أ p) + ق( جـ p) = 180 ْ
, ق( ب p) + ق( ء p) = 180 ْ


ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
نتيجة : قياس الزاوية الخارجة عند أى رأس من رؤوس الشكل الرباعى الدائرى تساوى قياس
الزاوية الداخلة المقابلة للمجاورة لها

A ا ب جـ ء رباعى دائرى , ب جـ هـفف خارجه عنه
B ق (ب جـ هـ فف) = ق ( ا p)

ملخص حالات الرباعى الدائرى :

يكون الشكل الرباعى دائرى فى إحدى الحالات الآتية:
1- إذا وجدت زاويتان مرسومتان علي قاعدة واحدة متساويتان في القياس .
2- إذا وجدت فيه زاويتان متقابلتان متكاملتان .
3- إذا وجدت فيه زاوية خارجة عند أي رأس من رؤوسه قياسها يساوي قياس الزاوية
الداخلة ا لمقابلة للمجاورة لها .
4- إذا كانت رؤوسه علي أبعاد متساوية من نقطة ثابتة في ا لمستوى .
5- إذا مرت رؤوسه بدائرة

ملاحظة :
(1) المربع ، المستطيل , شبه المنحرف المتساوى الساقين أشكال رباعية دائرية
(2) متوازى الأضلاع ، المعين , شبه المنحرف أشكال ليست رباعية دائرية






تذكر أن :
(1) المماس يكون عموديا على نصف القطر( أو القطر) المرسوم من نقطة التماس

A ا ب مماس للدائرة B ق ( م ا بفف) = 90 5

(2) المماسان المرسومان لدائرة من نهايتى قطر فيها متوازيان

نظرية ( 4 )
القطعتان المماستان المرسومتان من نقطة خارج دائرة لهذه الدائرة متساويتان فى الطول


A ا ب , ا ج مماسان للدائرة م
B ا ب = ا ج


نتائج نظرية ( 4 ) :
(1) المستقيم المار بمركز الدائرة و نقطة تقاطع مماسين لها يكون محورالوتر التماس لهذين
المماسين.










(2) المستقيم المار بمركز الدائرة و نقطة تقاطع مماسين لها ينصف الزاوية بين هذين المماسين كما ينصف الزاوية بين نصفى القطرين المارين بنقطتى التماس








تمرين مشهور :
مركز الدائرة الداخلة لأى مثلث هو نقطة تقاطع منصفات زواياه الداخلة

تذكر أن : مركز الدائرة الخارجة لأى مثلث هو نقطة تقاطع محاور تماثل أضلاعه

الزاوية المماسية :
هى الزوية المكونة من اتحاد شعاعين احدهما مماس للدائرة و الاخر يحمل وتر فى الدائرة يمر بنقطة التماس
نتيجة : قياس الزاوية المماسية تساوى نصف قياس
الزاوية المركزية المشتركة معها فى قوس واحد

A ب أ جـ زاوية مماسية

B ق( ب أ ج ) ا لمماسية = ق( أ حـ )

نظرية ( 5) قياس الزاوية المماسية تساوى قياس الزاوية المحيطية المشتركة معها فى القوس
A ا ج مماس , ا ب وتر
B ق ( ج أ بفف) المماسية = ق ( د p) المحيطية



عكس نظرية (5) :
إذا كان قياس الزاوية المحصورة بين وتر فى دائرة وشعاع بدايته إحدى نهايتى الوتر
يساوى قياس الزاوية المحيطية المنشأة على الوتر من الجهة الأخرى فإن هذا الشعاع يكون مماسا للدائرة

Aق (ء أ ج فف) = ق ( جـ ب أ فف) B أ د مماس للدائرة



فمثلا : إذا كانت ق ( هـ س ع فف) = ق ( ص p )
فإن س هـ مماس للدائرة المارة بالنقط س, ص , ع