التحليل ;كامل

مذكره رياضيات للصف الثاني الإعدادي
إ الوحدة الأولى (التحليل)


• قبل البدء في تحليل المقدار الثلاثي يراعى الاتى:-
• ترتيب حدود المقدار تنازليا حسب أسس الرموز المعطاة
• إخراج ع.م.أ بين حدود المقدار.
• فك الأقواس واختصار المقدار الجبري
حلل كلا مما ياتى :-
1) س2+56 – 15س 2) م (م+1) - 18
3) 3 أ3+ 9 أ2- 120 أ 4) س2 + س ص – 12 ص2



1 ) س2+56 – 15س = س2 – 15 س +56
= ( س- 7 ) ( س –

2) م (م+1) – 18 = م2 + 7م – 18
= (م+ 9) ( م- 2)

3)3 أ3+ 9 أ2- 120 أ = 3 أ ( أ2 + 3 أ – 40 )
= 3 أ ( أ + ( أ – 5 )

4) س2 + س ص – 12 ص2= ( س – 3 ص ) ( س + 4 ص )

ملا حظات هامه :-

• عند تحليل المقدار الثلاثي س2 + ب س + جـ على صوره (س + ل ) (س + م)
• إذا كانت اشاره جـ موجبه (حاصل ضرب العددين موجب )فان:ل,م لهما نفس إشارة جـ .

إذا كانت جـ سالبه (حاصل ضرب العددين سالب) فإن:ل,م مختلفان في الإشارة وأكبرهما عدديا له نفس اشاره (ب).
حلل كلا مما يأتي :
• ص3 + ص2 – 6 ص * -2 س2 -2 س +40
• 2 أ2 + 38 أ + 96 * 2أ4 – 24 أ2 ب2 -26 ب4

اوجد قيمه جـ بحيث يكون المقدار قابلا للتحليل , وحلله :-
• س2 +جـ س – 15 * س2 – 7 س + جـ
• أ2 + أ – جـ * س2 + جـ س +2






• نحلل أس2 إلى عاملين ’’ ل س , م س ,, ونكتبهما داخل القوسين :
( ل س + ن )


( م س + هـ )

• نحلل الحد الأخير جـ إلى عاملين ’’ ن ,هـ ,, ونكتبهما داخل القوسين
• نوجد ( حاصل ضرب الطرفين + حاصل ضرب الوسطين ) فإذا كان المجموع مساويا الحد الأوسط في المقدار الثلاثي ( كان التحليل صحيحا ) , وإلا نجرى محا ولات أخرى للوصول للحل الصحيح .
ملا حظات :-
 إذا كانت إشارة الحد الأخير في المقدار الثلاثي موجبه فان : إشارة الوسط في كل من القوسين تأخذ إشارة الوسط :
 إذا كانت إشارة الحد الأخير في المقدار الثلاثي موجبه فان: إشارتي الوسط في القوسين مختلفتان .
حلل كلا مما ياتى :-
 2 س2 – س – 6 * 48 س3 – 112 س2 -20س
 14 س2 – 11 س ص – 15 ص2 * 6 أ – 27 + 5أ2

الحـل :
• 2 س2 – س – 6 = ( 2س +3)( س- 2 )

• 48 س3 – 112 س2 -20س
نلا حظ وجود ع.م.أ بين حدود المقدار وهو: 4س
= 4س ( 12 س2 – 28 س-5 )
= 4س ( 6س+1 )( 2س - 5 )

• 14 س2 – 11 س ص – 15 ص2 = ( 7س+5ص)(2س-3ص)

• 6 أ – 27 + 5أ2 (( بترتيب حدود المقدار تنازليا ))

6 أ – 27 + 5أ2 = 5أ2 +6أ -27
= ( 5أ- 9) ( أ+ 3 )
حـلل كلا مما ياتـى :-
 2س2+3س+1 * 3س2- 20س ص - 7ص2

 12أ2- أ- 6 * 7س 4+ 23س2ص -30 ص2

 12(جـ + د ) س2 + 68(جـ + د) س + 80 ( جـ + د )

أكمل كلا مما ياتى:-
• إذا كان ( س+1 ) أحد عوامل المقدار : أحد عوامل المقدار
5س2- 2س - 7 فإن العامل الآخر.............
• إذا كان ( 2س – 7) أحد عوامل المقدار: 4س2 -8س -21
فإن العامل الآخر...........
اوجد قيمه جـ بحيث يكون المقدار التالي قابلا للتحليل وحلله :-
* جـ س2 + س + 15 * جـ س2 + 13 س + 6


المقدار الثلاثي المربع الكامل هو:

• مقدار حده الاول مربع كامل وهو موجب دائما .
• مقدار حده الثالث مربع كامل وهو موجب دائما.
شرط أن يكون المقدار الثلاثي مربعا كاملا هو:
• الحد الأوسط = ± 2× الحد الاول × الحد الثالث

ملا حظه:إذا كان المقدار الثلاثي مربعا كاملا فإن:

 الحد الأول= (الحد الأوسط)24× الحد الثالث * الحد الثالث = (الحد الأوسط)24× الحد الأول





إذا كان المقدار الثلاثي مربعا كاملا فانه يمكن تحليله على الصورة:-

(الحد الأول ± الحد الثالث )2
مع مراعاة: الإشارة بين الحدين داخل القوس تكون مماثله لإ شارة الحد الأوسط في المقدار.
حلل كلا مما ياتى :-

 25أ2 + 20 أ +4 * 19 س2 + 13 س + 14

28 س – 49 س2 – 4 * 25 س4 – 90 س2 ص + 81ص2



استخدم التحليــل لإيجــاد قيمــه كل ممــا يا تـــى :
• ( 87 )2+ 2×13×87 + (13)2

• (20.7)2 – 1.4× 20.7 + (0.7)2

أكمــل ما يأتــي :-
* إذا كان س2 +14 س + ب مربعا كاملا فان : ب= ............

* إذا كان س2 +ك س + 25 مربعا كامل فان ك =........

* قيمه ك التي تجعل المقدار 16 س2 – 24 + ك مربعا كاملا هي:.........

* المقدار أ س2 - 40 س + 25 يكون مربعا كاملا إذا كان أ = .........




الفـرق بيـن مربعي كميتيـن = مجمــوع الكميتيـن × الفــرق بينهمـا.
( س+ ص) ( س- ص) = س2 – ص2
حـلل كلا مما ياتى :-
• س2 – 25 * 18 س2 – 50 ص2
• 19 أ2 - 14 * ( س + ص )2 – 9
• 16 س2 ( س + ص ) – ص2 ( س + ص )
حـل الأمثلة:-
• س2 – 25 = ( س – 5 ) ( س + 5 )

• 18 س2 – 50 ص2 = 2 ( 9 س2 – 25 ص2 )
= 2 ( 3 س + 5 ص ) ( 3 س – 5 ص )

• 19 أ2 - 14 = ( 13 أ - 12 ) ( 13 أ + 12 )

• ( س + ص )2 – 9 = [ (س + ص ) – 3] [ ( س+ ص ) + 3 ]

• 16 س2 ( س + ص ) – ص2 ( س + ص )

= ( س + ص ) [ 16 س2 – ص2 ]

= ( س + ص )[ ( 4 س – ص ) ( 4 س + ص ) ]


تمـارين:- ((حـلل كلا مما ياتـى تحليــلا كامــلا ))

1) 1 – ( أ – 1 )2 2) أ2 ب2 - ( أ ب – 1)2
3) س4 – 1 4) س3 ص – س ص5
5) ( 2 أ +ب )2 – ( أ – ب)2 6) 8 س2 – 512
• إذا كان س ص = 8 اوجد القيمة العددية للمقدار : ( س + ص )2 - ( س – ص )2
• إذا كان أ2 – ب2 = 45 , أ – ب = 5 فان : أ + ب = ..........

استخــدم التحليـل لإيجـاد قيمـة ما ياتـى :-
• (77 )2 - (23 )2 * (8.27)2 - ( 1.23)2
• ( 999)2 – 1 * ( 11.6)2 - ( 1.6)2




أولا) تحليـل مجمـوع المكعبيـن:-
• نعلم أن: ( أ + ب) ( أ2 – أ ب + ب2 )
= أ3 – أ2 ب + أ ب2 + أ2ب – أب2 + ب3
= أ3 + ب3
من ذلك نستنج أن:
أ3 + ب3 = ( أ + ب ) ( أ2 – أب + ب2 )
Ex ) حلل:- س3 + 8 = ( س + 2) ( س2 – 2س + 4 )

ثانيا) تحليـل الفــرق بيـن المكعبيـن :-
• بالمثل: ( س – ص ) ( س2 + س ص + ص2 )
= س3 + س2 ص + س ص2 – س2 ص – س ص2 – ص3 )
= س3 – ص3
Ex ) حـلل:- 27 أ3 – ب3 = ( 3 أ – ب ) ( 9 أ2 + 3أب + ب2 )

حـلل كلا مما ياتى تحليــلا كامــلا :-
• 8 س3 – 27 * 2 س3 + 16
• 54 س4 – 2س ص3 * س6 - 64 ص6
• 27 أ3 + 0.001 * ل3 - 1125
أكمـل ما ياتـى:-
• إذا كان س + ص = 6 , س2 - ص2 = 12 , س2 + س ص + ص2
فان : س3 – ص3 = ..........
• إذا كان: 4أ2 – 2أ + 1 احد عاملـي المقـدار: 8أ3 + 1 فإن العامل الآخر : ..........
• إذا كان: ( س3 – 8 ) = ( س + أ ) ( س2 + 2س + 4 ) فان: أ = ....
إذا كان س3 + ك3 = ( س + ك ) ( س2 - 3س + ك2 ) فان: ك =.....




أولا ) تقسيم المقـدار الربـاعـي إلـى مقـدارين كـل منهما مكـون من حـدين:-

• نقسم المقدار إلى مقدارين كل منهما مكون من حدين با ستخدام الإبدال والدمج.
• نحلل كلا من هذين المقدارين باستخدام احد أنواع التحليل السابق دراستها.
• نستخرج ع.م.أ من بين المقادير الناتجة من تحليل كل مقدار.
وإذا لم نجد ع.م.أ نحاول إجراء التقسيم مره أخرى .

Ex ) حـلل : 2 أ2 – 2ب + أب – 4أ
هنقسم المقـدار كالتـالي : ( 2أ2 – 2ب ) + ( أب - 4أ )
بأخذ ع.م.أ بين حـدود المقـدارين, نجد أن: 2 ( أ2 – ب ) + أ ( ب – 4 )
نلا حـظ عـدم وجـود ع.م.أ بين المقـدارين , لذا نحـاول التقسيم مره أخـرى:
2 أ2 – 2ب + أب – 4أ = ( 2 أ2 + أب ) + ( - 2ب – 4أ )
= أ ( 2أ + ب ) – 2 (ب + 2أ )
نلا حـظ وجود ع.م.أ بين المقـدارين وهو: ( 2أ + ب )
= ( 2أ + ب) ( أ – 2 ) #
حـلل كلا ممـا يا تـى :

• 5ب + أس + 5أ + ب س * س3 – س2 – 9س +9
• س2 – ص2 + 5س – 5ص * س2 – 4ص2 - 5س +10ص
• 12س3 – 8س2 + 18س2 ص – 12 س ص
الحل :-

• 5ب + أس + 5أ + ب س = ( ب س + 5 ب) +( 5أ + أس )
= ب ( س+ 5 ) + أ ( 5 + س )
= ( س + 5 ) ( ب + أ ) #

• س3 – س2 – 9س +9 = ( س3 – 9س ) + (- س2 + 9)
= س ( س2 – 9) – ( س2 – 9 )
= ( س2 – 9 ) (س – 1 )
= ( س – 3 ) ( س + 3 ) ( س – 1 ) #

• س2 – ص2 + 5س – 5ص = ( س2 - ص2 ) + (5س – 5ص )
= (س – ص ) ( س + ص) + 5 ( س – ص)
= (س- ص ) [ ( س + ص ) + 5 ] #
• 12س3 – 8س2 + 18س2 ص – 12س ص
= 2س [ 6س2 – 4س + 9س ص – 6ص ]
= 2س [( 6س2 – 4س ) + (9س ص – 6ص)
=2س[ 2س(3س – 2 ) + 3ص ( 3س – 2)]
= 2س[( 3س – 2 ) ( 2س + 3ص ) ] #

ثا نيــا) تقسيم المقـدار الربـاعي إلى مقـدار ثلاثـي وحـد جبـري:-

يقسم المقدار الثلاثي إلى( مقدار ثلاثي مربع كامل ) , والحد الرابع يكون مربعا كاملا بحيث يمكن وضع المقدار الرباعي كله على صورة الفرق بين مربعين . ونلجأ إلى هذا النوع من التقسيم إذا كان المقدار الرباعي يتكون من :
1. ثلاثة حدود كل منها عبارة عن مربع كامل اثنان منهما متحدان في الاشاره والثالث يختلف عنهما في الاشاره .
2. الحد الرابع يكون مع الحدين المربعين المتحـدى الإشارة مقدار ثلاثي مربع كامل

حـلل : س2 – 10س ص + 25ص2 – 36
• س2 +9ص2 – 25 + 6س ص
• س2 – 2س ص + ص2 – جـ2
• 16س2 – أ2 +6أب – 9ب2
الحـل:-
• س2 – 10س ص + 25ص2 – 36 = ( س2 -10س ص + 25ص2 ) -36
=( س – 5ص )2 – 36
= [( س – 5ص ) – 6 ][( س – 5ص) + 6] #

• س2 +9ص2 – 25 + 6س ص = ( س2 + 6س ص + 9ص2 ) -25
= ( س+ 3ص )2 – 25
= [(س + 3ص ) – 5 ][(س + 3ص ) + 5 ] #

• س2 – 2س ص + ص2 – جـ2 = ( س2 – 2س ص+ ص2 ) – جـ2
= ( س – ص )2 – جـ2
= [(س – ص) – جـ ][( س + ص) + جـ ] #

• 16س2 – أ2 +6أب – 9ب2 = 16س2 – ( أ2 – 6أب + 9ب2 )
= 16س2 – ( أ – 3ب )2
= [4س – ( أ – 3ب ) ][ 4س + ( أ – 3ب )] #


حـلل كلا مما ياتى تحليلا كا ملا :-


• 1 – س2 – 4س ص – 4ص2
• 25 س2 – 10س +1 – ص2
• س3 + 8ص3 + 6س2 ص + 12س ص2
• أب س2 + ب س – أس – 1
• 8م ن – 2م2 + 12 ن ل – 3م ل
• 121س4 – 100س2 – 20س – 1
• س5 – س3 – س2 + 1
• 4م4 – 9م2 + 6م – 1
• س2ص3 + 8س2 – ص3 – 8



توجد بعض المقادير التي ليست بمربعات كاملة ولكن يمكن إكمالها لتكتب على الصورة: مقدارثلاثى مربع - مربع كامل
طريقة التحليـل بإكمـال المـربع :
• نضيف إلى المقدار المعطى ضعف حاصل ضرب جذري المربعين ثم نطرحه حتى لايتغير المقدار .
• باستخدام الإبدال والدمج نعيد ترتيب الحدود .
• نحلل المقدار كفرق بين مربعين ( كما سبق شرحه ) .
• إن أمكن تحليل المقادير الناتجة حتى يكون التحليل كاملا.
فمثـلا :-
• 4س4 + ص4 = 4س4 + ص4 +( 4س2ص2 – 4س2ص2 )
أضفنا إلى المقدار 2× 4س4 ×ص4 ثم نطرحه حتى لا يتغير المقدار.
= ( 4س4 + 4س2ص2 +ص4 ) – 4س2ص2
مقدار ثلاثي مربع كامل - مربع كامل
= (2س2 +ص2 )2 –( 2س ص)2
= [ (2س2 + ص2 ) – 2س ص ] [(2س2 + ص2 ) + 2س ص ] #

• س4 + 64 ص4 = ( س4 + 64 ص4 + 16س2ص2 ) – 16س2ص2
= ( س2 + ص2 )2 – ( 8س ص)2
= [( س2 + ص2 ) – 8س ص ][(س2 +ص2 ) + 8س ص ] #

حـلل كلا مما ياتى تحليلا كاملا:-

 9س4 +2س2 +1

 18 أب4 – 114 ب2 جـ2 أ + 128 أ جـ4

 س4 -28 س2 + 16

 8س4ص2 + 162 ع4 ص2

 س2 ( 9س2 – 10ص2 ) + ص4

 3م4 + 3ن4 – 54م2ن2

 81س4 + 4ع4

 50س4 + 18ص4 – 68س2ص2

 4س2 ( 4س2 – 7ص2 ) + ص4