مجموعة الأعداد الصحيحة

1- مجموعة الأعداد الصحيحة ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

إذا وضعت خط الأعداد في وضع رأسي ، ستجد أنَّ النقاط التي تمثل الاعداد الصحيحة الموجبة تقع جميعها فوق النقطة المرجعية التي تمثل الصفر ، وتقع جميع النقاط التي تمثل الاعداد الصحيحة السالبة ، اسفل النقطة المرجعية التي تمثل الصفر.
واذا رسمت خط الأعداد في وضع أفقي ، تجد أن جميع النقاط التي تمثل الأعداد الصحيحة الموجبة تقعُ على اليمين من النقطة المرجعية التي تمثل الصفر ، في حين أن جميع النقاط التي تمثل الأعداد الصحيحة السالبة تقعُ على اليسارِ من النقطة التي تمثل الصفر .


تدريب :

أدرس الأمثلة التالية :
النقطة و تمثل العدد الصحيح الموجب 6
النقطة ب تمثل العدد الصحيح الموجب 2
النقطة س تمثل العدد الصحيح السالب 1
الآن أكمل شفوياً العبارات التالية :
النقطة د تمثل العدد الصحيح ............ .....

النقطة ك تمثل العدد الصحيح ............ .....

النقطة جـ تمثل العدد الصحيح ............ .....

النقطة ل تمثل العدد الصحيح ............ .....


ادرس خط الأعداد التالي ثم اكتب الأعداد الصحيحة التي تُمثّل بالحروف :
( ص ) ، (ب) ، (هـ ) ، (ع) ، ...












2- ترتيب الأعداد الصحيحة والمقارنة بينها

نستخدم خط الأعداد في مقارنة الأعداد الصحيحة للتعرفِ على الأكبر والأصغر .
عرفت سابقاً أن الصفر على خط الأعداد يمثل نقطة مرجعية ، ولعلك لاحظت أن :
جميع الأعداد الصحيحة السالبة تقعُ على اليسارِ أو للأسفل من الصفرِ.




جميعَ الأعدادِ الصحيحة الموجبة تقعُ على اليمين أو للأعلى من الصفر .



1) الصفر أكبر من أيِّ عددٍ صحيح سالب .
2) والصفر أصغر من أيٍِّ عددٍ صحيح موجب .
3) أي عدد صحيح موجب أكبر من أي عدد صحيح سالب .
4) وأي عدد صحيح سالب أصغر من أي عدد صحيح موجب .


أولاً : أيهما أكبر +5 أم +2
لاحظ أن (+5) تقع على اليمين من +2 على خط الأعداد في وضع أفقي .
+5 أكبر من +2 




لاحظ أن (+5) تقع فوق (أعلى من ) +2 على خط الأعداد في وضع رأسي \ +5 < +2
















ثانياً : أيهما أكبر ـ3 أم ـ5
لاحظ أن ـ3 تقع على اليمين من ـ5 على خط الأعداد في وضع افقي .
 ـ3  ـ5



لاحظ أنَّ ـ3 تقع فوق (أعلى من ) ـ5 على خط الأعداد في وضع رأسي .
 ـ3  ـ5


الترتيب التصاعدي :
مثال1 :لنأخذ الأعداد الصحيحة التالية : ـ3 ، +4 ، 0 ، ـ5 ، +6
لاحظ أن ـ5 يقع أقصى اليسار بالنسبة لباقي الأعداد على خط الأعداد في وضع أفقي ، يليه مباشرة وعلى اليمين منه العدد ـ3 ثم الصفر ثم +4 وأخيراً +6 .


الأعداد المذكورة تأخذ الترتيب التصاعدي الآتي : ـ5 ، ـ3 ، 0 ، +4 ، +6


الترتيب التنازلي :
مثال1 : لنأخذ الأعداد الصحيحة التالية : +2 ، +4 ، ـ1 ، ـ3 ، 0
لترتيب هذه الأعداد ترتيباً تنازليا ، أي من الأكبر إلى الأصغر :
العدد +4 يقع أقصى اليمين بالنسبة لباقي الأعداد على خط الأعداد في وضع أفقي ، يليه مباشرة وعلى اليسار العدد +2 ثم الصفر ثم ـ1 وأخيراً في أقصى اليسار بالنسبة لباقي الأعداد العدد ـ3 .


 الأعداد المذكورة نأخذ الترتيب التنازلي الآتي 4 ، 2 ، 0 ، ـ1 ، ـ 3

-3 > -1 > 0 > +2 > +4

مثال 2 :
لنأخذ الأعداد الصحيحة التالية : ـ4 ، +2 ، ـ 2 ، 0 ، +4
لترتيب هذه الأعداد ترتيباً تنازلياً ، أي من الأكبر إلى الأصغر .
العدد +4 يقع في الأعلى بالنسبة لباقي الأعداد على خط الأعداد في وضعٍ رأسي ،
يليه مباشرة إلى الأسفل منه العدد +2 ثم الصفر ثم ـ2 واخيراً يقع العدد ـ4 في الاسفل بالنسبة لباقي هذه الأعداد .
 الأعداد المذكورة نأخذ الترتيب التنازلي الآتي :
+4 ، +2 ، 0 ، ـ2 ، ـ4


من خواص الجمع
ادرس الأمثلة التالية :
1- (+4) + (+5) = +9 وكذلك (+5) + (+4) = +9
\ (+4) + (+5) = (+5) + (+4)

2- (-2) + (-3) = -5 وكذلك (-3) + (-2) = -5
\ (-2) + (-3) = (-3) + (-2)

3- (-7) + (+4) = -3 وكذلك (+4) + (-7) = -3
\ (-7) + (+4) = (+4) + (-7)

4- (-3) + (+ = +5 وكذلك (+ + (-3) = +5
\ (-3) + (+ = (+ + (-3)
ماذا تستنتج ؟؟
لكل عددين صحيحين أ ، ب يكون : أ + ب = ب + أ
أ + ب = ب + أ
لكل عددين صحيحين أ ، ب
خاصية التجميع ( الخاصية التجميعية ) :
ادرس الأمثلة التالية :
أولاً :
1. ( (+3) + (+4) ) + (-2) = (+7) + (-2) = +5
2. (+3) + ( (+4) + (-2) ) = (+3) + (+2) = +5
3. ( (+3) + (-2) + (+4) = (+1) + (+4) = +5
ماذا تُلاحظ ؟؟
ثانياً :
1. ( (-4) + (-5) + (+3) = (-9) + (+3) = -6
2. (-4) + ( (-5) + (+3) = (-4) + (-2) = -6
3. (-5) + ( (+3) + (-4) = (-5) + (-1) = -6
ماذا تُلاحظ ؟؟ لأي ثلاثة أعدادٍ صحيحة أ ، ب ، جـ يكون : (أ + ب) + جـ = أ + (ب + جـ)

كون عملية الجمع إبدالية وتجميعية على مجموعة الأعداد الصحيحة ، يتيح لنا إمكانية جمع أي ثلاثة أعداد صحيحة أو أكثر وذلك بجمع أي عددين منها ثم إضافة الناتج إلى العدد الثالث وهكذا ........
مثل : جد ناتج (+17) + (-7) + (-12)
الحل :
(+17) + ( (-7) + (-5) = (+17) + (-12) = +5
مثل : أوجد ناتج (+5) + (-4) + (-9) + (+6) + (-2)
الحل :
( (+5) + (-4) ) + ( (-9) + (+6) ) + (-2)
(+1) + (-3) + (-2) = (+1) + ( (-3) + (-2) )
= +1 + (-5) = -4
الصفر على خط الأعداد
العنصر المحايد لعملية الجمع
أولاً : لاحظ العمليات التالية
7 + 0 = 7 0 + 7 = 7
(-3) + 0 = -3 0 + (-3) = -3
5 + 0 = 0 + 5 = 5
(-2) + 0 = 0 + (-2) = -2 .. وهكذا

لأي عددٍ صحيحٍ أ يكون : 0 + أ = أ + 0 = أ
نُسمي الصفر هنا العنصر المحايد لعملية الجمع على خط الأعداد الصحيحة .
ثانياً :
درست أن لكل عدد صحيحٍ معكوساً ((+5) « ه(-5)) وعرفت أن العدد ومعكوسه يقعان على البعد نفسه من النقطة المرجعية التي تمثل الصفر على خط الأعداد . وعرفت أن للعدد ومعكوسه القيمة المطلقة نفسها
الآن ، ادرس العمليات التالية :
1. (+5) + (-5) = 0 (-2) + (+2) = 0
|+5| = 5 وكذلك |-5| = 5
\ العدد الصحيح + معكوسه = صفر = العنصر المحايد لعملية الجمع
النظير الجمعي :
يُسمى العدد الصحيح النظير الجمعي لمعكوسه .
يُسمى معكوس العدد الصحيح النظير الجمعي لذلك العدد .
مثل :
النظير الجمعي للعدد +4 هو -4 النظير الجمعي للعدد -6 هو +6 ... وهكذا
نقول :
النظير الجمعي للعدد +7 هو –(+7) والنظير الجمعي للعدد -5 هو –(-5)
وبالمثل :
-(-12) يدل على النظير الجمعي للعدد -12
-(+9) يدل على النظير الجمعي للعدد +9
تذكر أن النظير الجمعي للعدد الصحيح هو معكوس ذلك العدد .
وتذكر أن العدد الصحيح + معكوسه = صفراً