شرح هندسه الترم الثانى

ا لوحدة الأولى : ا لزوايا و الاقواس في ا لدائرة

(1) ا لقوس : هو جزء من ا لدائرة محدد بنقطتي نهاية يقعان علي ا لدائرة .
(2) ا لزاوية ا لمركزية : هي ا لزاوية ا لتي رأسها مركز ا لدائرة ويحتوى كل ضلع من ضلعيها نصف قطر في ا لدائرة . قياسها أقل من أو تساوي 180 5 و تقابل قوس أصغر في ا لدائرة .
(3) ا لزاوية ا لمحيطية : هي ا لزاوية ا لتي رأسها علي ا لدائرة ويحمل كل ضلع من ضلعيها وتراً في ا لدائرة .
(4) ا لزاوية ا لمركزية ا لمنعكسة : هو نفس تعريف ا لزاوية ا لمركزية ولكن تقابل قوس أ كبر في ا لدائرة و قياسها أ كبر من 180 5
(5) قياس ا لقوس = قياس ا لزاوية ا لمركزية ا لمقابلة له .
(6) طول ا لقوس هو طول جزء من محيط ا لدائرة .
طول ا لدائرة = محيطها = 2 ط نق ، قياس ا لدائرة = 360 5
طول نصف دائرة = ط نق ، قياس نصف دائرة = 180 5

طول دائرة = × 2 ط نق = ط نق

قياس دائرة = × 360 = 270 5

(7) طول ا لقوس = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ × 2 ط نق

نق نصف قطر ا لدائرة ، ط = ( ما لم يذكر خلاف ذلك )

شكل توضيحي علي ما سبق :

أ حـ ، أ ب ، حـ ب أ قواس في الدائرة

ا لزاوية أ حـ ب محيطية ، الزاوية أ م ب مركزية

ق أ ب = ق( أ م ب ) ا لمركزية = 80 5

إذا كان طول نصف قطر ا لدائرة 7 سم فإن :
طول أ ب = × 2 ط نق = × 2 × × 7 = سم
نتائج هامه :

(1) في ا لدائرة ا لواحدة ( أو ا لدوائر ا لمتطابقة ) الأقواس ا لمتساوية في ا لقياس
متساوية في ا لطول و ا لعكس صحيح .

(2) في ا لدائرة ا لواحدة ( أو ا لدوائر ا لمتطابقة ) الأقواس ا لمتساوية في ا لقياس
أوتارها متساوية في ا لطول و العكس صحيح .
( أو يقال تقابل أوتاراً متساوية في ا لطول )


0 0 ق( أ ب ) = ق( د حـ )

0 0 طول ( أ ب ) = طول ( د حـ )

0 0 طول ا لوتر أ ب = طول ا لوتر د حـ أي أ ب = د حـ

(3) ا لوتران ا لمتوازيان في ا لدائرة يحصران قوسين متساويين في ا لقياس .
( أو الأوتار ا لمتوازية تحصر بينها أ قواسا متساوية في ا لقياس )

0 0 أ د // ب حـ 0 0 ق( أ ب ) = ق( د حـ )

(4) ا لقوسان ا لمحصوران بين وتر و مما س يوازيه في ا لدائرة يكونان متساويان
في ا لقياس .

0 0 ا لوتر أ ب // ا لمماس هـ حـ

0 0 ق( أ حـ ) = ق( ب حـ )


مثال : أ وجد قياس يمثل قياس ا لدائرة و إذا كان طول نصف قطر هذه ا لدائرة
يساوي 21 سم فأوجد طول ا لقوس ( ط = )
ا لحل : قياس ا لقوس = × 360 = 240 5

طول ا لقوس = × 2 ط نق = × 2 × × 21 = 88 سم

مثال : إذا كانت : هـ منتصف أ ب ، أ ب // حـ د برهن أن : هـ حـ = هـ د
ا لحل :
00 أ ب // حـ د

00 ق( أ حـ ) = ق( ب د ) 0000 (1)

00 هـ منتصف أ ب

00 ق( أ هـ ) = ق( هـ ب ) 0000 (2) بجمع (1) ، (2) :

00 ق( هـ أ حـ ) = ق( هـ ب د ) 00 هـ حـ = هـ د
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ا لعلاقة بين ا لزاويتين ا لمحيطية و ا لمركزية ا لمشتركتين في ا لقوس

نظرية (1ــ 1) :
قياس ا لزاوية ا لمحيطية يساوي نصف قياس ا لزاوية ا لمركزية ا لمشتركة معها
في ا لقوس .

ا لمعطيات : أ ب حـ محيطية و أ م ب مركزية
تشتركان في أ ب
ا لمطلوب : أثبات أ ن : ق( أ حـ ب) = ق( أ م ب )

ا لبرهان : 00 أ م ب خارجة عن ا لمثلث أ م حـ

00 ق( أ م ب ) = ق( م أ حـ ) + ق( م حـ أ ) 000 (1)

00 م أ = م حـ = نق ( أ نصاف أ قطار )

00 ق( م أ حـ ) = ق( م حـ أ ) 000 (2)

من (1) ، (2) نجد أ ن : ق( أ م ب ) = 2 ق( م حـ أ )

00 ق( أ حـ ب ) = ق ( أ م ب )
يمكن صياغة ا لنظرية كما يلي :
قياس ا لزاوية ا لمركزية يساوي ضعف قياس ا لزاوية ا لمحيطية ا لمشتركة معها في ا لقوس . أي ق( أ م ب ) = 2 ق( أ حـ ب )
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
نتيجة (1) : قياس ا لزاوية ا لمحيطية يساوي نصف قياس ا لقوس ا لمقابل لها .


ق( أ حـ ب ) ا لمحيطية = ق ( أ ب )

ق( أ ب ) = 2 ق( أ حـ ب )


نتيجة (2) : ا لزاوية ا لمحيطية ا لمرسومة في نصف دائرة قائمة .

00 أ ب قطر في ا لدائرة

00 ق( أ حـ ب ) = 90 5 قائمة


تمارين مشهورة

[1] قياس ا لزاوية بين وترين متقاطعين داخل دائرة :

إذا تقاطع وتران في نقطة داخل دائرة فإن قياس زاوية تقاطعهما يساوي نصف مجموع قياسي ا لقوس ا لمقابل لهذه ا لزاوية و ا لقوس ا لمقابل للزاوية ا لتي تقابلها با لرأس .

[2] قياس ا لزاوية بين وترين متقاطعين خارج دائرة :

إذا رسم من نقطة خارج دائرة شعاعان قاطعان لها فإن قياس زاوية تقاطعهما يساوي نصف ا لفرق بين قياسي ا لقوسين ا للذين يحصرهما هذان ا لشعاعان.


00 أ د ∩ ب حـ = { و }

00 ق( أ و حـ ) = [ ق( أ حـ ) + ق( ب د ) ]


00 أ ب ∩ حـ د = { هـ }

00 ق( هـ ) = [ ق( أ حـ ) ــ ق( ب د ) ]

ملحوظة : ا لتمارين ا لمشهورة هي تمارين تأخذ شكل ا لقواعد أي يمكن
أن تستخدم في حل ا لتمارين كا لنظريات و ا لنتائج و ا لحقائق .

مثال : في ا لشكل ا لمقابل :
ق( م ب حـ ) = 25 5 ، أ وجد ق( ب أ حـ )
ا لحل :
00 م ب = م حـ = نق

00 ق( م ب حـ ) = ق( م حـ ب ) = 25

00 ق( ب م حـ ) = 180 ــ ( 25 + 25 )
= 130

00 ق( ب أ حـ ) ا لمحيطية = ق( ب م حـ ) ا لمركزية

= × 130 = 65
مثال : في ا لشكل ا لمقابل :

إذا كان : ق( أ حـ ) = 60 5 ، ق( د ب ) = 20 5
أ وجد : ق( أ هـ حـ )
الحل : 00 أ ب ∩ حـ د = { هـ }
00 ق( أ هـ حـ ) = [ ق( أ حـ) + ق( د ب ) ]

= [ 60 + 20 ] = × 80 = 40 5

ا لزوايا ا لمحيطية ا لمرسومة علي نفس ا لقوس

نظرية ( 1 - 2 ) :
ا لزوايا ا لمحيطية ا لتي تحصر نفس ا لقوس في ا لدائرة متساوية في ا لقياس

ا لمعطيات : حـ ، د ، هـ زوايا محيطية مشتركة
في أ ب
ا لمطلوب : أثبات أن :
ق( حـ ) = ق( د ) = ق( هـ )
ا لبرهان :
00 ق( حـ ) = ق( أ ب )

، ق( د ) = ق( أ ب ) ، ق( هـ ) = ق( أ ب )

00 ق( حـ ) = ق( د ) = ق( هـ )

ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
نتيجة : ا لزوايا ا لمحيطية ا لتي تحصر أ قواساً متساوية في ا لقياس في ا لدائرة
ا لواحدة (أو في عدد دوائر ليس شرطاً أن تكون متطابقة) تكون متساوية في القياس






00 ق( أ ب ) = ق( س ع ) 00 ق( أ حـ ب ) = ق( س ص ع )

لاحظ أن :
1- ا لزوايا ا لمحيطية ا لتي تقابل أ قواساً متساوية في ا لطول في نفس ا لدائرة
( أ و في ا لدوائر ا لمتطابقة ) تكون متساوية في ا لقياس .
2- أما إذا كانت ا لزوايا ا لمحيطية تقابل أ قواساً متساوية في ا لطول في دوائر
غير متطابقة فإنها لا تكون متساوية في ا لقياس .

مثال : في ا لشكل ا لمقابل :

إذا كان : ق( أ د حـ ) = 120 ، أ ب قطر

فأوجد : ق( ب أ حـ )
ا لحل :
00 أ ب قطر 00 ق( أ د ب ) ا لمحيطية = 90 5

00 ق( ب د حـ ) = 120 ــ 90 = 30

00 ق( ب د حـ ) = ق( ب أ حـ ) = 30 محيطيان لهما ا لقوس ب حـ
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

ا لشــــــــــــــــــكل ا لـربـــاعي ا لدائري

نظرية : ( بدون برهان )
إذا تساوت قياسا زاويتين مرسومين علي قاعدة واحدة و في جهة واحدة منها فإنه يمر برأسيهما دائرة واحدة تكون هذه ا لقاعدة وتراً فيها .
في ا لشكل ا لمقابل :
إذا كان : ق( ب أ حـ ) = ق( ب د حـ )
وهما مرسومتان علي قاعدة واحدة ب حـ
و في جهة واحدة منها
00 أ ب حـ د يسمى رباعي دائرى ، و نستنتج أن :
ق( د أ حـ ) = ق( د ب حـ ) لهما نفس ا لقاعدة د حـ
ق( أ د ب ) = ق( أ حـ ب ) لهما نفس ا لقاعدة أ ب
ق( أ ب د ) = ق( أ حـ د ) لهما نفس ا لقاعدة أ د
مثال : في ا لشكل ا لمقابل : ق( أ ب حـ ) = ق( أ هـ د )
برهن أن : هـ ب د حـ رباعي
ا لحل : 00 ق( أ ب حـ ) = ق( أ هـ د )
، د ب حـ تكمل أ ب حـ ، د هـ حـ تكمل أ هـ د
00 ق( د ب حـ ) = ق( د هـ حـ )
و هما مرسومتان علي قاعدة واحدة د حـ
و في جهة واحدة منها 00 هـ ب د حـ شكل رباعي دائري

نظرية: إذا كان الشكل الرباعي دائرياً فإن كل زاويتين متقابلين في متكاملتان

ا لمعطيات : أ ب حـ د شكل رباعي دائرياً
ا لمطلوب : (1) ق( أ ) + ق( حـ ) = 180
(2) ق( ب ) + ق( د ) = 180
ا لبرهان :
00 ق( أ ) = ق( ب حـ د )

، ق( حـ ) = ق( ب أ د )

00 ق( أ ) + ق( حـ ) = [ ق( ب حـ د ) + ق( ب أ د ) ]

= × 360 = 180

با لمثل ق( ب ) + ق( د ) = 180
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
نتيجة : قياس ا لزاوية ا لخارجة عند أي رأس من رؤوس ا لشكل ا لرباعي الدائري يساوي قياس ا لزاوية ا لداخلة ا لمقابلة للمجاورة لها .

00 أ ب حـ د رباعي دائري

00 ق( ب حـ هـ ) = ق( أ )


ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
مثال : في ا لشكل ا لمقابل : أ ب حـ د شكل رباعي مرسوم
داخل ا لدائرة م ، أ ب قطر فيها ،
، ق( د حـ ب ) = 130 أ وجد : ق( أ ب د )
ا لحل :
00 أ ب قطر 00 ق( أ د ب ) ا لمحيطية = 90
00 أ ب حـ د رباعي دائري
00 ق( أ ) = 180 ــ 130 = 50
في ∆ أ د ب : ق( أ ب د ) = 180 ــ ( 90 + 50 ) = 40

مثال : في ا لشكل ا لمقابل :
أ ب حـ د متوازي أضلاع برهن أن: ب أ = ب هـ

ا لحل : 00 أ ب حـ د متوازي الأضلاع

00 ق( أ ) = ق( حـ ) 000 (1)

00 أ هـ ب خارجة عن ا لشكل ا لرباعي ا لدائري هـ ب حـ د

00 ق( أ هـ ب ) = ق( حـ ) 000 (2)

من (1) ، (2) نجد أن :

00 ق( أ ) = ق( أ هـ ب ) 00 أ ب = ب هـ
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
نظرية : ( بدون برهان )
إذا وجدت زاويتان متقابلتان متكاملتان في شكل رباعي كان هذا ا لشكل رباعيا دائرياً .

إذا كان : ق( أ ) + ق( حـ ) = 180 و هما متقابلتان

00 أ ب حـ د رباعي دائري

ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
نتيجة : إذا وجدت زاوية عند رأس من رؤوس شكل رباعي قياسها يساوي قياس ا لزاوية ا لداخلة ا لمقابلة لهذا ا لرأس كان ا لشكل رباعيا دائرياً .


إذا كان أ ب حـ د شكل رباعي

، ق( أ ب هـ ) = ق( د )

00 أ ب حـ د رباعي دائري

مثال : في ا لشكل ا لمقابل :
أ ب قطر في ا لدائرة م ، أ حـ وتر فيها
، د منتصف أ حـ .
برهن أن :
(1) ا لشكل م ب و د رباعي
(2) ق( و ) = 2 ق( ب أ هـ )

البرهان : 00 د منتصف أ حـ 0 0 م د ┴ أ حـ

00 م ب = نق ، ب و مماس 00 م ب ┴ ب و

00 ق( و د م ) + ق( م ب و ) = 180

00 ا لشكل م ب و د رباعي دائري

00 ب م هـ خارجة عن ا لشكل ا لرباعي ا لدائري د م ب و

00 ق( و ) = ق( ب م هـ ) 000 (1)

00 ق( ب م هـ ) = 2 ق( ب أ هـ ) 000 (2)

من ( 1 ) ، (2) نجد أن : ق( و ) = 2 ق( ب أ هـ )
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــحالة خاصة : يكون ا لشكل رباعيا دائريا إذا كانت رؤوسه علي أبعاد متساوية من نقطة ثابتة في ا لمستوى هي مركز ا لدائرة ا لمارة برؤوسه .






مثلا : إذا كانت م ب = م أ = م حـ = م د فإن ا لنقط أ ، ب ، حـ ، د تمر بها
دائرة وحيدة ، يكون ا لشكل أ ب حـ د رباعي دائري .


لإثبات: أن ا لشكل ا لرباعي دائري يجب أن يتوفر أحد ا لخواص الآتية :
1- إذا وجدت زاويتان مرسومتان علي قاعدة واحدة متساويتان في ا لقياس .
2- إذا وجدت فيه زاويتان متقابلتان متكاملتان .
3- إذا وجدت فيه زاوية خارجة عند أي رأس من رؤوسه قياسها يساوي قياس ا لزاوية ا لداخلة ا لمقابلة للمجاورة لها .
4- إذا كانت رؤوسه علي أبعاد متساوية من نقطة ثابتة في ا لمستوى .
5- إذا مرت رؤوسه بدائرة
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
مثال :
أثبت أن ا لشكل أ ب حـ د رباعي دائري مستعينا با لبيانات ا لموجودة علي ا لرسم








ا لشكل (1) ا لشكل (2)
البرهان :
في ا لشكل (1) : 00 ق( ب أ حـ ) = 30 ، ق( أ حـ ب) = 65
00 ق( أ ب حـ ) = 180 ــ ( 30 + 65 )
= 180 ــ 95 = 85
00 ق( أ د هـ ) = ق( أ ب حـ ) = 85 خارجة عند أحد رؤوسه
00 ا لشكل أ ب حـ د رباعي دائري .

في ا لشكل (2) : 00 د هـ حـ خارجة عن ا لمثلث ب هـ حـ
00 ق( د ب حـ ) = 65 ــ 20 = 45
00 ق( د أ حـ ) = ق( د ب حـ ) = 45
مرسومتان علي قاعدة واحدة و في جهة واحدة .
00 ا لشكل أ ب حـ د رباعي دائري .




ا لوحدة ا لثانية : ا لتماس و ا لزاوية ا لمماسية

ا لحالات ا لمختلفة للمماسات ا لمرسومة لدائرة :







1- من أي نقطة علي ا لدائرة يمكن رسم مماس واحد لها عند هذه ا لنقطة .
2- من أي نقطة خارج ا لدائرة يمكن رسم مماسان لهذه ا لدائرة .
3- لا يمكن رسم أي مماس للدائرة من نقطة داخل ا لدائرة .

ا لحالات ا لمختلفة للمماسات ا لمرسومة لدائرتين :







دئرتان متماستين من ا لخارج متباعدتان


1- ا لدائرتان ا لمتباعدتان : يمكن رسم 4 مماسات
مشتركة لهما .
2- ا لدائرتان ا لمتماستان من ا لخارج :
يمكن رسم 3 مماسات مشتركة للدائرتين إحداها
عند نقطة تماس ا لدائرتين ( ا لمماس ا لداخلي )
3- ا لدائرتان ا لمتماستان من ا لداخل : دائرتان متماستان من ا لداخل
يمكن رسم مماس مشترك وحيد لهما
4- ا لدائرتان ا لمتقاطعتان : يمكن رسم مماسين مشتركين لهما .



نتيجة : ا لمماسان ا لمرسومتان من نهايتي قطر
في ا لدائرة متوازيان .

ل1 // ل2
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
نظرية : ا لقطعتان ا لمماستان للدائرة
ا لقطعتان ا لمماستان ا لمرسومتان من نقطة خارج ا لدائرة
متساويتان في ا لطول .





ا لمعطيات : أ نقطة خارج ا لدائرة م ، أ ب ، أ حـ قطعتان متساويتان في ا لطول
ا لمطلوب : إثبات أ ن أ ب = أ حـ
ا لعمل : نرسم م أ ، م حـ ، م ب
ا لبرهان : 00 أ ب قطعة مماسة للدائرة م عند ب ، م ب نصف قطر

00 ق( أ ب م ) = 90

00 أ حـ قطعة مماسة للدائرة عند حـ ، م حـ نصف قطر
ق( ب ) = ق( حـ )
∆ ∆ م أ ب ، م أ حـ فيهما م ب = م حـ = نق
أ م ضلع مشترك
∆ م أ ب ≡ ∆ م أ حـ و ينتج أن : أ ب = أ حـ
ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
نتائج علي ا لنظرية :

1- م أ يكون محور ا لوتر ب حـ
2- أ م ينصف ب أ حـ ، م أ ينصف ب م حـ
نلاحظ أن : ب حـ يسمي وتر ا لتماس ،
ق( أ ب حـ ) = ق( أ حـ ب) ، ا لشكل أ ب م حـ رباعي دائري

اب وتر فى الدائرة م ,
م ج عمودى على ا ب ,
اثبت ان قياس الزاويه (ا م ج) = (ا د ب)

اريد حل المسأله

برجاء كتابه السؤال كامل اين تكون د