تعريف الحاصل الديكارتى:-

تعريف الحاصل الديكارتى:-
الحاصل الديكارتى من المجموعة س إلى المجموعة ص هو جميع الازواج المرتبة التى مسقطها الاول عنصر من عناصر س ومسقطها الثانى عنصر من عناصر ص ويسمى
( س × ص )
س × ص = { (س، ص) حيث س  ، ص  }
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
إذا كان س = { 2 ، 5 } ، ص = { 1 ، 3 ، 4 } أوجد س × ص ، ص × س
ومثلهما بمخطط سهمى وأخر بيانى
الحــــــــــــــــــــــــــــــل
س×ص= { (2 ، 1) ، (2 ، 3 ) ، (2 ، 4 ) ، (5 ، 1 ) ، ( 5 ، 3) ، ( 5 ، 4 ) }





ص × س = { (1 ، 2 ) ، ( 1 ، 5 ) ، (3 ، 2 ) ، ( 3 ، 5 ) ، (4 ، 2 ) ، ( 4 ، 5 ) }





لاحظ أن ن ( س × ص) = ن ( س ) × ن ( ص )
أى أن عدد عناصر س × ص = عدد عناصر س × عدد عناصر ص
فمثلا فى المثال السابق عدد عناصر ( س × ص ) = 2 × 3 = 6



إذا كانت س = { 1 ، 2 ، 3 } أوجد الحاصل الديكارتى س × س ومثله بمخطط
سهمى وأخر بيانى 0
الحـــــــــــــــــــــل
س × س = { (1 ، 1 ) ، ( 1 ، 2 ) ، ( 1 ، 3 ) (2 ، 1 ) ، (2 ، 2 ) ، ( 2 ، 3 ) ،
( 3 ، 1 )، ( 3 ، 2 ) ، ( 3 ، 3 ) }








(1) الربع الاول :-
س > 0 ، ص > 0
(2) الربع الثانى :-
س < 0 ، ص > 0
(3) الربع الثالث :-
س < 0 ، ص < 0
(4) الربع الرابع :-
س > 0 ، ص < 0
النقطة ( 3 ، 4 ) تقع فى الربع الأول لان [ س (موجبة) ، ص ( موجبة ) ]
النقطة ( -3 ، 4 ) تقع فى الربع الأول لان [ س (سالبة) ، ص ( موجبة ) ]
النقطة ( -3 ، -4) تقع فى الربع الأول لان [ س (سالبة) ، ص ( سالبة ) ]
النقطة ( 3 ، -4 ) تقع فى الربع الأول لان [ س (موجبة) ، ص ( سالبة ) ]
ملاحظة هامة
- النقط التى تنتمى لمحور السينات أحداثياتها = ( س ، 0 )
- النقطة التى تنتمى لمحور الصادات أحداثياتها = ( 0 ، ص )



العلاقة :- العلاقة من س الى ص هى أرتباط يربط بعض أو كل عناصر س ببعض أو كل عناصر ص
بيان ع :- هى مجموعة الازواج المرتبة التى تحقق العلاقة
ملاحظة :- العلاقة من س إلى ص تكون جزئية من الحاصل الديكارتى س × ص
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
إذا كانت س = { 2 ، 3 ، 5 } ، ص = { 1 ، 4 ، 7 } وكانت ع علاقة من س إلى ص حيث أ عب تعنى أن " أ < ب " لكل أ  س ، ب  ص أكتب بيان ع ومثلها بمخطط سهمى وأخر بيانى
الحـــــــــــــــــــــــــــــل
بيان ع = { (2 ، 4) ، (2 ، 7 ) ، (3 ، 4 ) ، ( 3 ، 7 ) ، ( 5 ، 7 ) }




@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
إذا كانت س = { 1 ، 2 ، 3 } ، ص = { 2 ، 3 ، 4 ، 6 } وكانت ع علاقة من س
إلى ص حيث أ عب تعنى أن " أ = ب " لكل أ  س ، ب  ص أكتب بيان ع
ومثلها بمخطط سهمى وأخر بيانى
الحـــــــــــــــــــــــــل
بيان ع = { ( 1 ، 2) ، ( 2 ، 4 ) ، ( 3 ، 6 }





إذا كانت س = { 2 ، 3 ، 4 } ، ص = { 1 ، 4 ، 9 ، 16 } وكانت ع علاقة من
س إلى ص حيث أ عب تعنى أن " أ2 = ب " لكل أ  س ، ب  ص أكتب بيان ع
ومثلها بمخطط سهمى وأخر بيانى
الحــــــــــــــــــــــــــــــــل
بيان ع = { (2 ، 4 ) ، ( 3 ، 9 ) ، ( 4 ، 16 ) }





@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
إذا كانت س = { 1 ، 2 ، 3 } ، ص = { 3 ، 4 ، 6 } وكانت ع علاقة من س إلى
ص حيث أ عب تعنى أن " أ عامل من عوامل ب " لكل أ  س ، ب  ص أكتب
بيان ع ومثلها بمخطط سهمى وأخر بيانى
الحــــــــــــــــــــــــــــل
بيان ع = {(1، 3) ، ( 1 ، 4 ) ، (1 ، 6) ( 2 ، 4) ، ( 2 ، 6 ) ، (3 ، 3) ، (3 ، 6) }






إذا كانت س = { 2 ، 3 ، 5 } ، ص = { 1 ، 4 ، 7 } وكانت ع علاقة من س إلى
ص حيث أ عب تعنى أن " ب = أ +2 " لكل أ  س ، ب  ص أكتب بيان ع

إذا كانت س = { -2 ، -1 ، 0 ، 1 ، 2 } وكانت ع علاقة على س حيث أ عب
تعنى أن " أ معكوس جمعى لـ ب " لكل أ، ب  س أكتب بيان ع ومثلها بمخطط
سهمى وأخر بيانى
الحـــــــــــــــــــــــــــــــل
بيان ع = {(-2 ، 2) ، (-1 ، 1 ) ، ( 0 ، 0 ) ، (1 ، -1 ) ، (2 ، -2 ) }






@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
إذا كانت س = { ، ، 1 ، 2 ، 3 } وكانت ع علاقة على س حيث أ عب
تعنى أن" أ معكوس ضربى لـ ب " لكل أ، ب  س أكتب بيان ع ومثلها بمخطط
سهمى وأخر بيانى
الحــــــــــــــــــــــــــــــــل
بيان ع = {( ، 3 ) ، ( ، 2 ) ( 1 ، 1 ) ، (2 ، ) ، ( 3 ، ) }












إذا كانت س = { 2 ، 3 ، 5 } وكانت ع علاقة على س حيث أ ع ب تعنى أن
" أ + ب = عدد زوجى " لكل أ، ب  س أكتب بيان ع ومثلها بمخطط سهمى وأخر بيانى
الحـــــــــــــــــــــــــــل
بيان ع = { (2 ، 2 ) ، ( 3 ، 3 ) ، ( 3 ، 5 ) ، ( 5 ، 3 ) ، ( 5 ، 5 )}





@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
إذا كانت س = { 2 ، 3 ، 5 } وكانت ع علاقة على س حيث أ عب تعنى أن
" أ  ب " لكل أ، ب  س أكتب بيان ع ومثلها بمخطط سهمى وأخر بيانى
الحـــــــــــــــــــــــــــــــــل
بيان ع = { (2 ، 2 ) ، ( 2 ، 3 ) ، ( 2 ، 5 ) ، ( 3 ، 3 ) ، ( 3 ، 5 ) ، ( 5 ، 5 )}












الدالة :- هى علاقة من س إلى ص بشرط أن كل عنصر من عناصر س يظهر كمسقط أول مرة واحدة وواحدة فقط ( كل عنصرمن س يخرج منه سهم واحد فقط )
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
بين أيا من المخططات السهمية الاتية يمثل دالة من س إلى ص





لا تمثل دالة لان العنصر5 تمثل دالة لان كل عنصر من س تمثل دالة لان كل عنصر من س لم يخرج منه سهم خرج منه سهم واحد خرج منه سهم واحد فقط






تمثل دالة لان كل عنصر من لا تمثل دالة لان العنصر 4 تمثل دالة لان كل عنصر من س س خر ج منه سهم خرج منه سهمان خرج منه سهم واحد فقط واحد فقط





إذا كانت د دالة من س إلى ص فإن
المجال : هو عناصر المجموعة س
المجال المقابل : هو عناصر المجموعة ص
المدى : مجموعة العناصر التى تتنمى إلى ص ولها أصل فى س [ مجموعة الصور ]
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
بين هل المخطط السهمى المقابل يمثل دالة
أم لا وإذا كان يمثل دالة عين المجال
والمجال المقابل والمدى
الحــــــــــــــل
العلاقة تمثل دالة لان كل عنصر من س ظهر كمسقط أول مرة واحدة وواحدة فقط
المجال = س = { 1 ، 4 ، 6 }
المجال المقابل = ص = { 2 ، 3 ، 5 ، 7 }
المدى = { 2 ، 5 ، 7 }
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
إذا كانت س = { 0 ، 1 ، 2 ، 3} ، ص = { 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 } وكانت ع
علاقة من س إلى ص حيث أ ع ب تعنى أن ( أ + ب = 5 ) أكتب بيان ع ومثلها
بمخطط سهمى وبين هل تمثل دالة أم لا وإذا كانت دالة عين مداها
الحــــــــــــــــــــــــــــــــل
بيان ع = { (0 ، 5 ) ، ( 1 ، 4 ) ، (2 ، 3 ) ، (3 ، 2 )}
العلاقة تمثل دالة لان كل عنصر من عناصر س خرج منه سهم
واحد فقط
المدى = { 2 ، 3 ، 4 ، 5 }


@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
إذا كانت س = {3 ، 2 ، 1 ، 0 ، ، } وكانت ع علاقة على س حيث
أ ع ب تعنى أن ( أ معكوس ضربى لـ ب ) أكتب بيان ع ومثلها بمخطط سهمى
وبين ما أذا كانت دالة أم لا وإذا كانت دالة عين مداها
الحــــــــــــــــــــــــــل
بيان ع = { (3 ، ) ، (2 ، ) ، (1 ، 1 ) ، ( ، 2) ،
( ، 3 )}
العلاقة لا تمثل دالة لان العنصر (0) لم يخرج منه سهم
وبالتالى ليس لها مدى



الصورة العامة للدوال كثيرات الحدود
د(س) = أ0 + أ1 س + أ2 س2 + أ3 س3 + .........................................................+ أن سن
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@


الصورة العامة لها د( س ) = جـ حيث جـ عدد ثابت وهى تمثل بيانياً بمستقيم يوازى محور السينات ويقطع محور الصادات فى النقطة ( 0 ، جـ ) ويكون
(1) منحنى الدالة أعلى محور السينات عندما تكون جـ > 0 ( موجبة )
(2) منحنى الدالة ينطبق على محور السينات إذا كانت جـ = 0
(3) منحنى الدالة أسفل محور السينات إذا كانت جـ < 0 (سالبة )
**************************************************************











الصورة العامة للدالة الخطية (دالة الدرجة الاولى )
د(س) = أ س + ب مجالها = ح مداها = ح
أمثلة د(س) = 2س +3 & د(س) = س – 1 & د(س) = س & د(س) = 5 – 2 س
التمثيل البيانى للدالة الخطية
* إذا كانت د دالة خطية فإن كلا من مجالها ومجالها المقابل هو ح ولهذا فإن بيان الدالة ينتمى للحاصل الديكارتى ح × ح
* حيث بين كل عددين حقيقيين يوجد عدد لا نهائى من الاعداد الحقيقية ولهذا فإن مجموعة النقط التى تمثل الدالة تأخذ شكل المستقيم وليس نقط منفصلة كما هو الحال إذا كان المجال ط أو ص أو ن أو أى مجموعة جزئية منهم
ملاحظة :-
ما دامت الدالة الخطية تمثل بيانيا بخط مستقيم فيكتفى عند تمثيلها بيانيا بأيجاد زوجين مرتبين ينتميان إلى بيان الدالة فيكون المستقيم الذى يمر بالنقطتين اللتين تمثلان هذين الزوجين هو الشكل البيانى للدالة
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
مثل بيانيا منحنى الدالة د(س) = 2س +3
الحــــــــــــــــــــل











مثل بيانيا منحنى الدالة د(س) = 3س – 2
الحــــــــــــــــــــــــــــل





@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
مثل بيانيا منحنى الدالة د(س) = 5 – 2 س
الحـــــــــــــــــــل





@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
مثل بيانيا منحنى الدالة د(س) = 3س
الحـــــــــــــــــــــــل









الدالة د(س) = أ س2 + ب س + جـ حيث أ ، ب ، جـ أعداد حقيقية ، أ  0 تسمى دالة تربيعية وهى كثيرة حدود من الدرجة الثانية
(1) منحنى الدالة د(س) يكون مفتوحاً لاعلى إذا كانت أ موجبة
(2) منحنى الدالة د(س) يكون مفتوحا لاسفل إذا كانت أ سالبة
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
مثل بيانيا منحنى الدالة د(س) = س2 متخذاً س  ]-3 ، 3 [ ومن ثم أوجد
(1) معادلة محور التماثل (2) القيمة العظمى أو الصغرى
(3) فترات التزايد والتناقص (4) رأس المنحنى
الحــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــل
د(س) = س2
د(-3) = (-3)2 = 9 ، د(-2)=(-2)2 = 4
د(-1)=(-1)2 = 1 ، د(0)= (0)2 = 0
د(1)= (1)2 = 1 ، د(2) = (2)2 = 4
د(3) = (3)2 = 9
معادلة محور التماثل س = 0 ( محور الصادات)
القيمة الصغرى = 0
]-3 ، 0 [ فترة تناقص ، ]0 ، 3 [ فترة تزايد
رأس المنحنى ( 0 ، 0 )
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
مثل بيانيا منحنى الدالة د(س) =- س2 متخذاً س  ]-3 ، 3 [ ومن ثم أوجد
(1) معادلة محور التماثل (2) القيمة العظمى أو الصغرى
(3) فترات التزايد والتناقص (4) رأس المنحنى
الحـــــــــــــــــــــــــــــــل
د(س) = - س2
د(-3) = - (-3)2 = -9 ، د(-2)= - (-2)2 = -4
د(-1)=- (-1)2 = -1 ، د(0)= - (0)2 = 0
د(1)= - (1)2 = -1 ، د(2) =- (2)2 = -4
د(3) = - (3)2 = -9
معادلة محور التماثل س = 0 ( محور الصادات)
القيمة العظمى = 0
]-3 ، 0 [ فترة تزايد ، ]0 ، 3 [ فترة تناقص
رأس المنحنى ( 0 ، 0 )


مثل بيانيا منحنى الدالة د(س) = س2 – 1 متخذاً س  ]-3 ، 3 [ ومن ثم أوجد
(1) معادلة محور التماثل (2) القيمة العظمى أو الصغرى
(3) فترات التزايد والتناقص (4) رأس المنحنى











معادلة محور التماثل هى س=0، رأس المنحنى هى (0 ، -1) القيمة الصغرى = -1
فترات التزايد والتناقص ] -  ، 0 [ تناقصية ، ]0 ،  [ تزايدية
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
مثل بيانيا منحنى الدالة د(س) = 4 – س2 متخذاً س  ]-3 ، 3 [ ومن ثم أوجد
(1) معادلة محور التماثل (2) القيمة العظمى أو الصغرى
(3) فترات التزايد والتناقص (4) رأس المنحنى









معادلة محور التماثل هى س = 0، القيمة العظمى = 4 ، رأس المنحنى هى (0 ، 4)
فترات التزايد والتناقص ] -  ، 0 [ تزايدية، ]0 ،  [ تناقصية
مثل بيانيا منحنى الدالة د(س) = س2 – 4س +3 متخذاً س  ]-1 ، 5 [ ومن ثم أوجد
(1) معادلة محور التماثل (2) القيمة العظمى أو الصغرى
(3) فترات التزايد والتناقص (4) رأس المنحنى











معادلة محور التماثل هى س=2، رأس المنحنى هى (2 ، -1) القيمة الصغرى = -1
فترات التزايد والتناقص ] -  ، 2 [ تناقصية ، ]2 ،  [ تزايدية
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@
مثل بيانيا منحنى الدالة د(س) = 4س – س2 – 3 متخذاً س  ]-1 ، 5 [ ومن ثم أوجد
(1) معادلة محور التماثل (2) القيمة العظمى أو الصغرى
(3) فترات التزايد والتناقص (4) رأس المنحنى









معادلة محور التماثل هى س =2، القيمة العظمى = 1 ، رأس المنحنى هى (2 ، 1)
فترات التزايد والتناقص ] -  ، 1 [ تزايدية، ]1 ،  [ تناقصية